Решение: Вычисление года рождения А.А. Маркова

Задание 1. Вычислим значение выражения, чтобы узнать год рождения великого русского математика А. А. Маркова. \[ ((3\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 - 11\sqrt{2}) \cdot (\frac{4}{\sqrt{3}})^2 \cdot 29 \] 1) Раскроем квадрат суммы в скобках по формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (3\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 = (3\sqrt[4]{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2 \] \[ = 9\sqrt{2} + 6\sqrt[4]{16} + \sqrt{8} = 9\sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 2\sqrt{2} = 11\sqrt{2} + 12 \] 2) Подставим полученный результат в первую скобку: \[ (11\sqrt{2} + 12 - 11\sqrt{2}) = 12 \] 3) Вычислим оставшуюся часть выражения: \[ 12 \cdot \frac{16}{3} \cdot 29 = 4 \cdot 16 \cdot 29 = 64 \cdot 29 = 1856 \] Ответ: Андрей Андреевич Марков родился в 1856 году. Задание 2. Найдем область определения функции \( y = \sqrt{\frac{6-x-x^2}{x+2}} \). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{6-x-x^2}{x+2} \ge 0 \] Разложим числитель на множители: \( -x^2 - x + 6 = -(x+3)(x-2) \). \[ \frac{-(x+3)(x-2)}{x+2} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} \le 0 \] Методом интервалов находим знаки выражения: - При \( x \in (-\infty; -3] \) выражение \( \le 0 \) (подходит) - При \( x \in (-3; -2) \) выражение \( > 0 \) - При \( x \in (-2; 2] \) выражение \( \le 0 \) (подходит) - При \( x \in (2; +\infty) \) выражение \( > 0 \) Ответ: \( D(y) = (-\infty; -3] \cup (-2; 2] \). Задание 3. Определим последнюю цифру суммы \( 9^{2025} + 9^{2026} \). Заметим закономерность степеней девятки: \( 9^1 = 9 \), \( 9^2 = 81 \), \( 9^3 = 729 \), \( 9^4 = 6561 \). Если степень нечетная, число оканчивается на 9. Если четная — на 1. 1) \( 2025 \) — нечетное число, значит \( 9^{2025} \) оканчивается на 9. 2) \( 2026 \) — четное число, значит \( 9^{2026} \) оканчивается на 1. 3) Сумма последних цифр: \( 9 + 1 = 10 \). Последняя цифра — 0. Ответ: 0. Задание 4. Найдем площадь треугольника с вершинами \( A(3; 6), B(-5; 3), C(3; -1) \). Заметим, что точки \( A \) и \( C \) лежат на одной вертикальной прямой \( x = 3 \). Длина стороны \( AC \) (основание): \( a = |6 - (-1)| = 7 \). Высота \( h \), проведенная из точки \( B \) к прямой \( AC \), равна разности координат \( x \): \( h = |3 - (-5)| = 8 \). Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28 \] Ответ: 28. Задание 5. Дана функция \( f(x) = 1 + \sqrt{x} \). а) \( f(x) = x \Rightarrow 1 + \sqrt{x} = x \). Пусть \( \sqrt{x} = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда \( t^2 - t - 1 = 0 \). \( D = 1 + 4 = 5 \). \( t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) (второй корень \( < 0 \) не подходит). \( x = t^2 = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \). б) \( f(f(x)) = x \Rightarrow 1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}} = x \). Заметим, что функция \( f(x) \) монотонно возрастает. Для возрастающих функций уравнение \( f(f(x)) = x \) равносильно уравнению \( f(x) = x \). Следовательно, корень будет таким же, как в пункте (а). Ответ: а) \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \); б) \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).