Решение дифференциального уравнения y'' - 4y' + 5y = 5x^2 - 4

Решение дифференциального уравнения: \[ y'' - 4y' + 5y = 5x^2 - 4 \] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения \( y_{оо} \) и частного решения неоднородного уравнения \( y_{чн} \). 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' - 4y' + 5y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 4k + 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Корни уравнения комплексные: \[ k_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \] Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = e^{2x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x) \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: Так как правая часть \( f(x) = 5x^2 - 4 \) — многочлен второй степени, а число 0 не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = Ax^2 + Bx + C \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = 2Ax + B \] \[ y''_{чн} = 2A \] Подставим их в исходное уравнение: \[ 2A - 4(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5x^2 - 4 \] Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при степенях \( x \): \[ 5Ax^2 + (-8A + 5B)x + (2A - 4B + 5C) = 5x^2 - 4 \] Составим систему уравнений: При \( x^2 \): \( 5A = 5 \Rightarrow A = 1 \) При \( x^1 \): \( -8A + 5B = 0 \Rightarrow -8(1) + 5B = 0 \Rightarrow 5B = 8 \Rightarrow B = \frac{8}{5} = 1.6 \) При \( x^0 \): \( 2A - 4B + 5C = -4 \Rightarrow 2(1) - 4(1.6) + 5C = -4 \Rightarrow 2 - 6.4 + 5C = -4 \Rightarrow -4.4 + 5C = -4 \Rightarrow 5C = 0.4 \Rightarrow C = 0.08 \) Частное решение: \[ y_{чн} = x^2 + 1.6x + 0.08 \] 3. Запишем общий ответ: \[ y = e^{2x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x) + x^2 + 1.6x + 0.08 \]