Решение:

Решение дифференциального уравнения: \[ y'' - 2y' - 3y = e^{2x}(-3x^2 - 2x + 6) \] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' - 2y' - 3y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 2k - 3 = 0 \] По теореме Виета или через дискриминант найдем корни: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ k_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad k_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Общее решение однородного уравнения: \[ y_{оо} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: Правая часть имеет вид \( f(x) = e^{\alpha x} P_n(x) \), где \( \alpha = 2 \), а \( P_n(x) = -3x^2 - 2x + 6 \). Так как число \( \alpha = 2 \) не является корнем характеристического уравнения (\( 2 \neq 3 \) и \( 2 \neq -1 \)), частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = e^{2x}(Ax^2 + Bx + C) \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = 2e^{2x}(Ax^2 + Bx + C) + e^{2x}(2Ax + B) = e^{2x}(2Ax^2 + (2A + 2B)x + B + 2C) \] \[ y''_{чн} = 2e^{2x}(2Ax^2 + (2A + 2B)x + B + 2C) + e^{2x}(4Ax + 2A + 2B) \] \[ y''_{чн} = e^{2x}(4Ax^2 + (8A + 4B)x + 2A + 4B + 4C) \] Подставим в исходное уравнение и сократим на \( e^{2x} \): \[ (4Ax^2 + (8A + 4B)x + 2A + 4B + 4C) - 2(2Ax^2 + (2A + 2B)x + B + 2C) - 3(Ax^2 + Bx + C) = -3x^2 - 2x + 6 \] Сгруппируем слагаемые: При \( x^2 \): \( 4A - 4A - 3A = -3 \Rightarrow -3A = -3 \Rightarrow A = 1 \) При \( x^1 \): \( 8A + 4B - 4A - 4B - 3B = -2 \Rightarrow 4A - 3B = -2 \Rightarrow 4(1) - 3B = -2 \Rightarrow 3B = 6 \Rightarrow B = 2 \) При \( x^0 \): \( 2A + 4B + 4C - 2B - 4C - 3C = 6 \Rightarrow 2A + 2B - 3C = 6 \Rightarrow 2(1) + 2(2) - 3C = 6 \Rightarrow 6 - 3C = 6 \Rightarrow C = 0 \) Частное решение: \[ y_{чн} = e^{2x}(x^2 + 2x) \] 3. Запишем общий ответ: \[ y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} + e^{2x}(x^2 + 2x) \]