Решение задачи: Площадь параллелограмма

Задача №1 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(BK \perp AD\); \(AK = 7\) см, \(KD = 15\) см; \(\angle A = 45^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Найдем длину стороны \(AD\). Так как точка \(K\) лежит на стороне \(AD\), то: \[AD = AK + KD = 7 + 15 = 22 \text{ (см)}\] 2. Рассмотрим треугольник \(ABK\). Он прямоугольный, так как \(BK\) — высота (\(\angle AKB = 90^\circ\)). По условию \(\angle A = 45^\circ\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), значит: \[\angle ABK = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\] Так как \(\angle A = \angle ABK = 45^\circ\), треугольник \(ABK\) является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: \[BK = AK = 7 \text{ (см)}\] 3. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \(S = a \cdot h\), где \(a\) — сторона, \(h\) — высота, проведенная к этой стороне: \[S_{ABCD} = AD \cdot BK = 22 \cdot 7 = 154 \text{ (см}^2)\] Ответ: 154 см\(^2\). Задача №2 Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AD \parallel BC\); \(AD = 27\) см, \(BC = 13\) см; \(CD = 10\) см, \(\angle D = 30^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\)). В этом треугольнике гипотенуза \(CD = 10\) см, а угол \(\angle D = 30^\circ\). По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[CH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ (см)}\] Высота трапеции \(h = CH = 5\) см. 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где \(a\) и \(b\) — основания трапеции. \[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{27 + 13}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100 \text{ (см}^2)\] Ответ: 100 см\(^2\).