Решение:

Дано: Треугольник равнобедренный. Угол при основании \( \alpha = 22,5^\circ \). Боковая сторона \( a = 6\sqrt{2} \) см. Найти: \( \frac{S}{\sqrt{2}} \) Решение: 1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем угол при вершине \( \gamma \): \[ \gamma = 180^\circ - 2 \cdot 22,5^\circ = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] 2) Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\gamma) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot \sin(135^\circ) \] 3) Вычислим значения: \[ (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \] По формулам приведения \( \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 4) Подставим всё в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2} \] 5) По условию задачи полученный ответ нужно поделить на \( \sqrt{2} \): \[ \frac{S}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 18 \] Ответ: 18