Решение:

Дано: Треугольник \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный. Гипотенуза \( AB = 6\sqrt{2} \). Найти: 1) Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \). 2) Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CB} \). Решение: 1) В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны \( 45^\circ \). То есть \( \angle BAC = 45^\circ \) и \( \angle ABC = 45^\circ \). 2) Чтобы найти угол между векторами, их нужно привести к общему началу. У векторов \( \vec{AB} \) (начало в \( A \), конец в \( B \)) и \( \vec{CB} \) (начало в \( C \), конец в \( B \)) общим является конец — точка \( B \). Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \) равен углу между векторами, выходящими из точки \( B \), то есть углу между \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \). Этот угол и есть внутренний угол треугольника \( \angle ABC \). \[ \angle(\vec{AB}, \vec{CB}) = \angle ABC = 45^\circ \] 3) Найдем длины векторов (стороны треугольника). Длина гипотенузы \( |\vec{AB}| = 6\sqrt{2} \). Так как треугольник равнобедренный прямоугольный, катет \( BC \) связан с гипотенузой формулой \( AB = BC \cdot \sqrt{2} \). Отсюда катет \( |\vec{CB}| = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \). 4) Вычислим скалярное произведение по формуле: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{CB})) \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 6\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos(45^\circ) \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = \frac{36 \cdot 2}{2} = 36 \] Ответ на первый вопрос: 45 Ответ на второй вопрос: 36