Решение задачи: Найти угол и сторону треугольника

Дано: \( S_{ABC} = 10\sqrt{3} \) \( AB = 8 \) \( BC = 5 \) \( \angle B \) — острый. Найти: 1) \( \angle B \) 2) \( AC \) Решение: 1) Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B \] Подставим известные значения: \[ 10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin B \] \[ 10\sqrt{3} = 20 \cdot \sin B \] \[ \sin B = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Так как по условию \( \angle B \) — острый, то: \[ \angle B = 60^\circ \] 2) Для нахождения стороны \( AC \) воспользуемся теоремой косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] Подставим значения (\( \cos 60^\circ = 0,5 \)): \[ AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0,5 \] \[ AC^2 = 64 + 25 - 40 \] \[ AC^2 = 49 \] \[ AC = \sqrt{49} = 7 \] Ответ на первый вопрос: 60 Ответ на второй вопрос: 7