Контрольная работа №8: Применение производной. Вариант 1 - Решение

Контрольная работа №8 «Применение производной» Вариант 1 Задание 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) = 3x^3 + 2x - 5 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \). Решение: Угловой коэффициент касательной \( k \) равен значению производной функции в точке касания: \( k = f'(x_0) \). 1) Найдем производную функции: \[ f'(x) = (3x^3 + 2x - 5)' = 9x^2 + 2 \] 2) Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \[ k = f'(1) = 9 \cdot 1^2 + 2 = 9 + 2 = 11 \] Ответ: \( k = 11 \). Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 1 + 8x - x^2 \) на отрезке \( [2, 5] \). Решение: 1) Найдем производную: \[ f'(x) = 8 - 2x \] 2) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 8 - 2x = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \] Точка \( x = 4 \) принадлежит отрезку \( [2, 5] \). 3) Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: \[ f(2) = 1 + 8 \cdot 2 - 2^2 = 1 + 16 - 4 = 13 \] \[ f(4) = 1 + 8 \cdot 4 - 4^2 = 1 + 32 - 16 = 17 \] \[ f(5) = 1 + 8 \cdot 5 - 5^2 = 1 + 40 - 25 = 16 \] 4) Сравним полученные значения: \[ \max_{[2, 5]} f(x) = f(4) = 17 \] \[ \min_{[2, 5]} f(x) = f(2) = 13 \] Ответ: наибольшее значение 17, наименьшее значение 13. Задание 3. Материальная точка движется по закону \( x(t) = t^3 + 1 \). Определите скорость точки в момент, когда её координата равна 9 м. Решение: 1) Найдем момент времени \( t \), когда \( x(t) = 9 \): \[ t^3 + 1 = 9 \implies t^3 = 8 \implies t = 2 \text{ с} \] 2) Скорость — это производная координаты по времени: \[ v(t) = x'(t) = (t^3 + 1)' = 3t^2 \] 3) Вычислим скорость в момент \( t = 2 \): \[ v(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ м/с} \] Ответ: 12 м/с. Задание 4. Для функции \( f(x) = -x^3 + 3x + 2 \) найти: а) критические точки; б) промежутки монотонности; в) точки экстремума. Решение: 1) Найдем производную: \[ f'(x) = -3x^2 + 3 \] 2) а) Критические точки (\( f'(x) = 0 \)): \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1 \] 3) б) Определим знаки производной на интервалах: На \( (-\infty; -1) \): \( f'(-2) = -3(4)+3 = -9 < 0 \) (функция убывает) На \( (-1; 1) \): \( f'(0) = 3 > 0 \) (функция возрастает) На \( (1; +\infty) \): \( f'(2) = -9 < 0 \) (функция убывает) Промежутки возрастания: \( [-1, 1] \). Промежутки убывания: \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \). 4) в) Точки экстремума: \( x_{min} = -1 \) (производная меняет знак с "-" на "+") \( x_{max} = 1 \) (производная меняет знак с "+" на "-") Ответ: а) -1; 1; б) возр. на [-1, 1], убыв. на \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \); в) \( x_{min} = -1, x_{max} = 1 \). Задание 5. Составьте уравнение касательной к графику функции \( y = x - 3x^2 \) в точке \( x_0 = 2 \). Решение: Уравнение касательной: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \). 1) Вычислим \( f(x_0) \): \[ f(2) = 2 - 3 \cdot 2^2 = 2 - 12 = -10 \] 2) Найдем производную и её значение в точке \( x_0 \): \[ f'(x) = 1 - 6x \] \[ f'(2) = 1 - 6 \cdot 2 = 1 - 12 = -11 \] 3) Подставим в формулу: \[ y = -10 + (-11)(x - 2) \] \[ y = -10 - 11x + 22 \] \[ y = -11x + 12 \] Ответ: \( y = -11x + 12 \).