Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений Решим первые три уравнения из списка, так как они являются базовыми и часто встречаются в школьной программе. Уравнение №1 \[ \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \] Пусть \( \sin x = t \), где \( |t| \le 1 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t - 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] Так как \( |t| \le 1 \), корень \( t_2 = -2 \) не подходит. Вернемся к замене: \[ \sin x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \). Уравнение №2 \[ 2 \cos^2 x - 5 \sin x + 1 = 0 \] Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \): \[ 2(1 - \sin^2 x) - 5 \sin x + 1 = 0 \] \[ 2 - 2 \sin^2 x - 5 \sin x + 1 = 0 \] \[ -2 \sin^2 x - 5 \sin x + 3 = 0 \] Умножим на -1: \[ 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \] Пусть \( \sin x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 2t^2 + 5t - 3 = 0 \] \[ D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \] \[ t_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \] \[ t_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3 \text{ (не подходит, так как } |t| \le 1) \] Вернемся к замене: \[ \sin x = 0,5 \] \[ x = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). Уравнение №3 \[ 2 \sin^2 x + \cos x - 1 = 0 \] Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \): \[ 2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0 \] \[ 2 - 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \] \[ -2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \] Умножим на -1: \[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] Пусть \( \cos x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 2t^2 - t - 1 = 0 \] \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5 \] Переходим к \( x \): 1) \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) \( \cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) \[ x = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( 2\pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \).