Решение квадратных уравнений: примеры для тетради

Ниже представлено решение заданий с доски, оформленное для записи в тетрадь. 1. Решить уравнения: а) \(x^2 - 5x - 24 = 0\) Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\] \[\sqrt{D} = 11\] \[x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Ответ: -3; 8. б) \(2x^2 - 8x + 11 = 0\) \[D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24\] Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. в) \(6x^2 + 18x = 0\) Вынесем общий множитель за скобки: \[6x(x + 3) = 0\] \[6x = 0 \text{ или } x + 3 = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = -3\] Ответ: -3; 0. 2. Разложить на множители: а) \(x^2 - 13x + 22\) Найдем корни уравнения \(x^2 - 13x + 22 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 13, x_1 \cdot x_2 = 22 \Rightarrow x_1 = 11, x_2 = 2\] Разложение: \((x - 11)(x - 2)\) б) \(\frac{1}{6}y^2 + \frac{3}{2}y - 6\) Вынесем \(\frac{1}{6}\) за скобку: \[\frac{1}{6}(y^2 + 9y - 36)\] Корни выражения в скобках: \(y_1 = -12, y_2 = 3\) (так как \(-12 \cdot 3 = -36\) и \(-12 + 3 = -9\)). Разложение: \(\frac{1}{6}(y + 12)(y - 3)\) 3. Задача: Пусть вторая сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда первая сторона равна \((x + 7)\) см. Площадь \(S = 260\) см\(^2\). \[x(x + 7) = 260\] \[x^2 + 7x - 260 = 0\] \[D = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 49 + 1040 = 1089 = 33^2\] \[x = \frac{-7 + 33}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ (см) — вторая сторона.}\] Первая сторона: \(13 + 7 = 20\) (см). Периметр \(P = 2(a + b)\): \[P = 2(20 + 13) = 2 \cdot 33 = 66 \text{ (см).}\] Ответ: 66 см. 4. Сократить дробь: а) \(\frac{x^2 + x - 20}{2x + 10}\) Разложим числитель: корни \(x_1 = -5, x_2 = 4\), значит \(x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4)\). Разложим знаменатель: \(2(x + 5)\). \[\frac{(x + 5)(x - 4)}{2(x + 5)} = \frac{x - 4}{2}\] б) \(\frac{4x^2 + x - 5}{16x^2 - 25}\) Числитель: \(D = 1 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 81\), корни \(x_1 = 1, x_2 = -1,25\). Разложение: \(4(x - 1)(x + 1,25) = (x - 1)(4x + 5)\). Знаменатель: \((4x - 5)(4x + 5)\). \[\frac{(x - 1)(4x + 5)}{(4x - 5)(4x + 5)} = \frac{x - 1}{4x - 5}\]