Решение задачи по геометрии 10 класс: построение сечения куба

Ниже представлено решение задач по геометрии для 10 класса, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1 Условие: Постройте сечение куба по трем точкам \(M\), \(N\), \(K\) и опишите построение. Построение: 1) Проведем отрезок \(KN\), так как точки \(K\) и \(N\) лежат в одной плоскости правой грани \(BCC_1B_1\). 2) Проведем отрезок \(MN\), так как точки \(M\) и \(N\) лежат в одной плоскости нижнего основания \(ABCD\). 3) Продлим прямую \(MN\) до пересечения с прямой \(AD\) (продолжение ребра) в точке \(X\). 4) Продлим прямую \(MN\) до пересечения с прямой \(CD\) в точке \(Y\). 5) Точка \(X\) лежит в плоскости передней грани \(ABB_1A_1\). Однако, более простым способом будет использование свойства параллельных плоскостей: плоскости \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) параллельны. Следовательно, линии пересечения их секущей плоскостью будут параллельны. 6) Проведем через точку \(M\) прямую, параллельную \(KN\). Она пересечет ребро \(AA_1\) в точке \(P\). 7) Проведем через точку \(K\) прямую, параллельную \(MN\). Она пересечет ребро \(D_1C_1\) в точке \(L\). 8) Соединим полученные точки. Искомое сечение — многоугольник \(PMNKL\). Задача №2 Условие: Постройте сечение куба, проходящее через точки \(M\) и \(N\), параллельно прямой \(AD_1\). Опишите построение. Построение: 1) Чтобы сечение было параллельно прямой \(AD_1\), необходимо, чтобы в плоскости сечения лежала прямая, параллельная \(AD_1\). 2) Точка \(N\) лежит на ребре \(D_1C_1\). В плоскости задней грани \(DD_1C_1C\) проведем через точку \(N\) прямую, параллельную \(AD_1\). Так как \(AD_1\) параллельна \(BC_1\), проведем из \(N\) прямую \(NK\), где \(K\) лежит на ребре \(CC_1\), такую что \(NK \parallel BC_1\) (или воспользуемся тем, что \(AD_1 \parallel BC_1\)). 3) Соединим точки \(K\) и \(M\), так как они лежат в плоскости правой грани \(BCC_1B_1\). 4) В плоскости нижнего основания \(ABCD\) через точку \(M\) проведем прямую, параллельную \(NK\) (или соответствующей проекции \(AD_1\)). 5) Используя свойство параллельности граней, достраиваем сечение. Проводим через точку \(N\) в верхней грани прямую, параллельную \(ML\) (где \(L\) — точка на ребре \(AB\) или \(AD\)). 6) Искомым сечением будет являться четырехугольник (или пятиугольник в зависимости от точного положения точек), стороны которого параллельны \(AD_1\) или строятся по правилу пересечения параллельных граней. В данном случае соединяем \(M\), \(N\) и проводим параллельные линии.