Решение задания 9: Системы уравнений

Задание 9. Решение систем уравнений. Ниже представлено подробное решение первых четырех систем из списка, оформленное для записи в тетрадь. 1) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 31 \\ 2x^2 + 6y^2 = 31x \end{cases} \] Заметим, что левая часть второго уравнения в 2 раза больше левой части первого уравнения. Вынесем 2 за скобки во втором уравнении: \[ 2(x^2 + 3y^2) = 31x \] Так как из первого уравнения \( x^2 + 3y^2 = 31 \), подставим это значение: \[ 2 \cdot 31 = 31x \] \[ 62 = 31x \implies x = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение: \[ 2^2 + 3y^2 = 31 \] \[ 4 + 3y^2 = 31 \implies 3y^2 = 27 \implies y^2 = 9 \] \[ y_1 = 3, y_2 = -3 \] Ответ: (2; 3), (2; -3). 2) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} \] Вынесем 4 за скобки во втором уравнении: \[ 4(3x^2 + 2y^2) = 50x \] Подставим значение из первого уравнения: \[ 4 \cdot 50 = 50x \implies 200 = 50x \implies x = 4 \] Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение: \[ 3 \cdot 4^2 + 2y^2 = 50 \] \[ 3 \cdot 16 + 2y^2 = 50 \implies 48 + 2y^2 = 50 \] \[ 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1 \] Ответ: (4; 1), (4; -1). 3) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25 \\ 3x^2 + 12y^2 = 25x \end{cases} \] Вынесем 3 за скобки во втором уравнении: \[ 3(x^2 + 4y^2) = 25x \] Подставим значение из первого уравнения: \[ 3 \cdot 25 = 25x \implies 75 = 25x \implies x = 3 \] Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение: \[ 3^2 + 4y^2 = 25 \] \[ 9 + 4y^2 = 25 \implies 4y^2 = 16 \implies y^2 = 4 \] \[ y_1 = 2, y_2 = -2 \] Ответ: (3; 2), (3; -2). 4) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61 \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x \end{cases} \] Вынесем 3 за скобки во втором уравнении: \[ 3(5x^2 + y^2) = 61x \] Подставим значение из первого уравнения: \[ 3 \cdot 61 = 61x \implies 183 = 61x \implies x = 3 \] Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение: \[ 5 \cdot 3^2 + y^2 = 61 \] \[ 5 \cdot 9 + y^2 = 61 \implies 45 + y^2 = 61 \] \[ y^2 = 16 \implies y_1 = 4, y_2 = -4 \] Ответ: (3; 4), (3; -4).