Решение системы неравенств: 8 + 2x - x^2 > 0 и x - 2 ≥ 0

Решим систему неравенств: \[ \begin{cases} 8 + 2x - x^2 > 0 \\ x - 2 \geqslant 0 \end{cases} \] Решение: 1. Решим первое (квадратное) неравенство: \[ -x^2 + 2x + 8 > 0 \] Для удобства умножим на \(-1\), при этом знак неравенства изменится: \[ x^2 - 2x - 8 < 0 \] Найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) через дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4; \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] Так как это парабола ветвями вверх и нам нужно значение \( < 0 \), то решением будет интервал между корнями: \[ x \in (-2; 4) \] 2. Решим второе (линейное) неравенство: \[ x - 2 \geqslant 0 \] \[ x \geqslant 2 \] 3. Найдем пересечение решений: Нам нужно найти такие \(x\), которые одновременно удовлетворяют условиям: — \(x\) больше \(-2\), но меньше \(4\). — \(x\) больше или равен \(2\). Объединяя эти условия на числовой прямой, получаем: \[ 2 \leqslant x < 4 \] Запишем результат в виде интервала: \[ [2; 4) \] Квадратная скобка у \(2\) означает, что точка включена (неравенство \(\geqslant\)), круглая скобка у \(4\) означает, что точка не включена (неравенство было строгим \(>\)). Ответ: \([2; 4)\).