Решение системы неравенств x^2 + y^2 ≤ 25 и x + y ≤ 5

Дана система неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 25 \\ x + y \leqslant 5 \end{cases} \] Решение: 1. Разберем первое неравенство: \( x^2 + y^2 \leqslant 25 \). Уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \) задает окружность с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{25} = 5 \). Знак \( \leqslant \) означает, что решению принадлежат все точки внутри окружности и сама граница. 2. Разберем второе неравенство: \( x + y \leqslant 5 \). Преобразуем его к виду \( y \leqslant -x + 5 \). Границей является прямая, проходящая через точки \( (0; 5) \) и \( (5; 0) \). Знак \( \leqslant \) означает, что решению принадлежат все точки, лежащие ниже этой прямой. 3. Найдем общее решение системы: Нам нужно найти область, которая одновременно находится внутри круга и ниже прямой. — Прямая отсекает от круга сегмент. — Так как нам нужно \( y \leqslant -x + 5 \), мы выбираем ту часть круга, которая находится под прямой (большая часть круга, включающая центр координат \( (0; 0) \)). 4. Проверим точку \( (0; 0) \): \[ \begin{cases} 0^2 + 0^2 \leqslant 25 \Rightarrow 0 \leqslant 25 \text{ (верно)} \\ 0 + 0 \leqslant 5 \Rightarrow 0 \leqslant 5 \text{ (верно)} \end{cases} \] Следовательно, область, содержащая начало координат, является верной. 5. Анализируем рисунки: — На первом рисунке (слева) закрашена область внутри круга, лежащая ниже прямой. Это соответствует нашим вычислениям. — На втором рисунке (справа) закрашен малый сегмент круга, лежащий выше прямой, что соответствовало бы неравенству \( x + y \geqslant 5 \). Ответ: Первый рисунок (левый).