Решение задачи про трапецию: Найти отрезок OB

Ниже представлено решение задач из домашнего задания, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1 Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(BC \parallel AD\)) \(BC = 9\) см \(AD = 16\) см \(BD = 18\) см \(O = AC \cap BD\) Найти: \(OB\) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(DOA\). У них \(\angle BOC = \angle DOA\) как вертикальные. \(\angle CBO = \angle ADO\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{OB}{OD} \] 3. Пусть \(OB = x\) см, тогда \(OD = BD - OB = (18 - x)\) см. Подставим значения в пропорцию: \[ \frac{9}{16} = \frac{x}{18 - x} \] 4. Решим уравнение по свойству пропорции: \[ 9 \cdot (18 - x) = 16x \] \[ 162 - 9x = 16x \] \[ 162 = 25x \] \[ x = \frac{162}{25} = 6,48 \] Ответ: \(OB = 6,48\) см. Задача №2 Дано: \(\triangle 1\) со сторонами \(a_1 = 6\) см, \(b_1 = 8\) см, \(c_1 = 13\) см. \(\triangle 2\) со сторонами \(a_2 = 12\) см, \(b_2 = 9\) см, \(c_2 = x\) см. \(\triangle 1 \sim \triangle 2\) Найти: \(x\) Решение: В подобных треугольниках отношение сходственных сторон (от меньшей к меньшей, от средней к средней) должно быть постоянным. Проверим отношение известных сторон: Если \(a_2 = 12\) соответствует \(b_1 = 8\), то коэффициент подобия \(k = \frac{12}{8} = 1,5\). Тогда сторона \(b_2 = 9\) должна соответствовать стороне \(a_1 = 6\): \(k = \frac{9}{6} = 1,5\). Коэффициенты совпали, значит, стороны \(x\) и \(c_1 = 13\) также являются сходственными. \[ \frac{x}{13} = 1,5 \] \[ x = 13 \cdot 1,5 = 19,5 \] Ответ: \(x = 19,5\) см. Задача №3 Дано: \(\triangle ABC\) \(\angle BKC = \angle CMB = 90^\circ\) Найти: верное высказывание. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(BKC\) и \(CMB\). У них общая гипотенуза \(BC\). 2. Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACM\). Они прямоугольные и имеют общий угол \(A\). Значит, \(\triangle ABK \sim \triangle ACM\). Из подобия следует: \(\frac{AK}{AM} = \frac{AB}{AC}\), что можно переписать как \(\frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC}\). 3. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle AKM\). У них угол \(A\) — общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны (из пункта 2): \(\frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC}\). Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle AKM\) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Важно соблюдать порядок вершин: вершине \(A\) соответствует \(A\), вершине \(B\) соответствует \(K\), вершине \(C\) соответствует \(M\). Правильный ответ: г) \(\triangle ABC \sim \triangle AKM\).