Решение задачи: Наименьшее и наибольшее значение функции y = x^2 - 8x + 19

Задание 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \( y = x^2 - 8x + 19 \) на промежутке \( [-1; 5] \). Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = (x^2 - 8x + 19)' = 2x - 8 \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 8 = 0 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \] Точка \( x = 4 \) принадлежит промежутку \( [-1; 5] \). 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка: При \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3 \] При \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28 \] При \( x = 5 \): \[ y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 19 = 25 - 40 + 19 = 4 \] 4. Сравним полученные результаты: Наименьшее значение: \( y_{min} = 3 \) при \( x = 4 \). Наибольшее значение: \( y_{max} = 28 \) при \( x = -1 \). Ответ: \( \min_{[-1; 5]} y = 3 \); \( \max_{[-1; 5]} y = 28 \). Задание 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \( y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 \) на промежутке \( [-2; 3] \). Решение: 1. Найдем производную функции: \[ y' = (x^3 - 9x^2 + 24x - 1)' = 3x^2 - 18x + 24 \] 2. Найдем критические точки: \[ 3x^2 - 18x + 24 = 0 \] Разделим уравнение на 3: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 4 \] Точка \( x = 2 \) принадлежит промежутку \( [-2; 3] \). Точка \( x = 4 \) не принадлежит промежутку \( [-2; 3] \), поэтому ее не рассматриваем. 3. Вычислим значения функции в точке \( x = 2 \) и на концах промежутка: При \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19 \] При \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^3 - 9 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) - 1 = -8 - 36 - 48 - 1 = -93 \] При \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17 \] 4. Сравним полученные результаты: Наименьшее значение: \( y_{min} = -93 \) при \( x = -2 \). Наибольшее значение: \( y_{max} = 19 \) при \( x = 2 \). Ответ: \( \min_{[-2; 3]} y = -93 \); \( \max_{[-2; 3]} y = 19 \).