Решение Итоговой Работы 10 Класс Вариант 1

Итоговая работа для 10 класса. Вариант 1. Задача 1. Дано: Начальное население — 120 тыс. Прирост — 5% Найти: Население в этом году. Решение: 1) Найдем величину прироста: \[ 120 \cdot 0,05 = 6 \text{ (тыс.)} \] 2) Найдем общую численность: \[ 120 + 6 = 126 \text{ (тыс.)} \] Ответ: 126. Задача 2. По графику определим путь и время на обратном пути. Обратный путь начался на 70-й минуте (расстояние 4 км) и закончился на 100-й минуте (расстояние 0 км). 1) Расстояние \( S = 4 \) км. 2) Время \( t = 100 - 70 = 30 \) минут. 3) Переведем время в часы: \( 30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч} \). 4) Скорость \( v = \frac{S}{t} = \frac{4}{0,5} = 8 \) км/ч. Ответ: 8. Задача 3. Нужно купить 550 \( м^2 \) линолеума. Поставщик I: Цена: \( 550 \cdot 250 = 137500 \) руб. Так как сумма > 130000, доставка бесплатная. Итого: 137500 руб. Поставщик II: Цена: \( 550 \cdot 210 = 115500 \) руб. Доставка: 950 руб. Итого: \( 115500 + 950 = 116450 \) руб. Поставщик III: Цена: \( 550 \cdot 230 = 126500 \) руб. Так как сумма > 120000, доставка бесплатная. Итого: 126500 руб. Наименьшая стоимость: 116450 руб. Ответ: 116450. Задача 4. Всего квартир \( n = 48 \). Квартир с собаками \( m = 18 \). Вероятность \( P = \frac{m}{n} \): \[ P = \frac{18}{48} = \frac{3}{8} = 0,375 \] Ответ: 0,375. Задача 5. Найдите значение выражения: \[ \log_{6} 144 + 2\log_{6} \frac{1}{2} + 1 \] Решение: \[ \log_{6} 144 + \log_{6} (\frac{1}{2})^2 + 1 = \log_{6} 144 + \log_{6} \frac{1}{4} + 1 \] \[ \log_{6} (144 \cdot \frac{1}{4}) + 1 = \log_{6} 36 + 1 \] \[ 2 + 1 = 3 \] Ответ: 3. Задача 6. Решите уравнение: \[ (\frac{1}{49})^{3-x} = 343 \] Решение: Приведем к основанию 7: \[ (7^{-2})^{3-x} = 7^3 \] \[ 7^{-2(3-x)} = 7^3 \] \[ -6 + 2x = 3 \] \[ 2x = 9 \] \[ x = 4,5 \] Ответ: 4,5. Задача 7. Решите уравнение: \[ x = \sqrt{2x^2 - 3x - 5} + 1 \] Решение: \[ x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5} \] Возведем в квадрат при условии \( x - 1 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 1 \)): \[ (x - 1)^2 = 2x^2 - 3x - 5 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 3x - 5 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 3, x_2 = -2 \] Проверка условия \( x \ge 1 \): корень \( x = -2 \) не подходит. Остается один корень \( x = 3 \). Ответ: 3. Задача 8. Пусть \( v \) — скорость байдарки в стоячей воде. Скорость по течению: \( v + 2 \). Скорость против течения: \( v - 2 \). Время по озеру и против течения: \[ t = \frac{15}{v} + \frac{9}{v-2} \] Время по течению: \[ t = \frac{42}{v+2} \] Уравнение: \[ \frac{15}{v} + \frac{9}{v-2} = \frac{42}{v+2} \] Разделим на 3: \[ \frac{5}{v} + \frac{3}{v-2} = \frac{14}{v+2} \] \[ \frac{5(v-2) + 3v}{v(v-2)} = \frac{14}{v+2} \] \[ \frac{8v - 10}{v^2 - 2v} = \frac{14}{v+2} \] \[ (8v - 10)(v + 2) = 14(v^2 - 2v) \] \[ 8v^2 + 16v - 10v - 20 = 14v^2 - 28v \] \[ 6v^2 - 34v + 20 = 0 \] \[ 3v^2 - 17v + 10 = 0 \] \[ D = 289 - 120 = 169 = 13^2 \] \[ v_1 = \frac{17 + 13}{6} = 5 \] \[ v_2 = \frac{17 - 13}{6} = \frac{2}{3} \text{ (не подходит, так как } v > 2) \] Ответ: 5.