Решение неравенства (3x - 6) / (x + 1) ≤ 0

Ниже представлено подробное решение задачи для записи в тетрадь. Задание 1. Решите неравенство \[ \frac{3x - 6}{x + 1} \leqslant 0 \] Решение: Для решения дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. 1. Найдем нули числителя: \[ 3x - 6 = 0 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \] Так как неравенство нестрогое (\( \leqslant \)), точка \( x = 2 \) будет закрашенной (входит в решение). 2. Найдем нули знаменателя (точки разрыва): \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Точка \( x = -1 \) всегда выколотая, так как на ноль делить нельзя. 3. Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале: — На интервале \( (2; +\infty) \): возьмем \( x = 3 \), тогда \( \frac{3(3)-6}{3+1} = \frac{3}{4} > 0 \) (плюс). — На интервале \( (-1; 2] \): возьмем \( x = 0 \), тогда \( \frac{0-6}{0+1} = -6 < 0 \) (минус). — На интервале \( (-\infty; -1) \): возьмем \( x = -2 \), тогда \( \frac{3(-2)-6}{-2+1} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0 \) (плюс). Нам подходят интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Ответ: \( (-1; 2] \) (третий вариант в списке). Задание 2. Найдите количество целых решений неравенства. Решение: Выпишем все целые числа, которые входят в полученный промежуток \( (-1; 2] \): 1. Число \( -1 \) не входит (скобка круглая). 2. Число \( 0 \) — входит. 3. Число \( 1 \) — входит. 4. Число \( 2 \) — входит (скобка квадратная). Итого целых решений: \( 0, 1, 2 \). Всего их 3. Ответ: 3