Решение системы неравенств: x^2+y^2 ≤ 36 и x+y ≤ 6

Ниже представлено подробное решение задачи для записи в тетрадь. Задание: Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 36 \\ x + y \leqslant 6 \end{cases} \] Решение: Разберем каждое неравенство системы отдельно, чтобы понять, какую область они ограничивают. 1. Первое неравенство: \( x^2 + y^2 \leqslant 36 \). Уравнение \( x^2 + y^2 = 36 \) задает окружность с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{36} = 6 \). Знак \( \leqslant \) означает, что решению удовлетворяют все точки, находящиеся внутри окружности и на самой границе. 2. Второе неравенство: \( x + y \leqslant 6 \). Преобразуем его к виду функции: \( y \leqslant -x + 6 \). Границей является прямая \( y = -x + 6 \), которая проходит через точки \( (6; 0) \) и \( (0; 6) \). Знак \( \leqslant \) означает, что решению удовлетворяют все точки, лежащие ниже этой прямой или на ней. 3. Поиск общего решения (пересечения): Нам нужно найти область, которая одновременно находится внутри круга и ниже прямой. — Прямая отсекает от круга сегмент. — Точка \( (0; 0) \) удовлетворяет обоим неравенствам: \[ 0^2 + 0^2 \leqslant 36 \quad (0 \leqslant 36 \text{ — верно}) \] \[ 0 + 0 \leqslant 6 \quad (0 \leqslant 6 \text{ — верно}) \] Значит, центр координат должен входить в закрашенную область. Анализ рисунков: — На первом рисунке закрашен малый сегмент круга, который находится выше прямой. Это соответствовало бы системе, где \( x + y \geqslant 6 \). — На втором рисунке закрашена большая часть круга, которая находится ниже прямой. Это полностью соответствует нашим условиям. Ответ: второй рисунок.