Решение системы неравенств: x^2 - 5x + 4 ≥ 0 и x^2 - 4x - 12 ≤ 0

Ниже представлено подробное решение задачи для записи в тетрадь. Задание: Решите систему неравенств \[ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 \geqslant 0 \\ x^2 - 4x - 12 \leqslant 0 \end{cases} \] Запишите наименьшее и наибольшее целое решение системы. Решение: Решим каждое неравенство системы по отдельности. 1. Решим первое неравенство: \( x^2 - 5x + 4 \geqslant 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 4 \] Так как ветви параболы направлены вверх и знак \( \geqslant 0 \), решением являются внешние промежутки: \[ x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty) \] 2. Решим второе неравенство: \( x^2 - 4x - 12 \leqslant 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 12 = 0 \) по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_3 + x_4 = 4 \\ x_3 \cdot x_4 = -12 \end{cases} \implies x_3 = -2, \quad x_4 = 6 \] Так как ветви параболы направлены вверх и знак \( \leqslant 0 \), решением является отрезок между корнями: \[ x \in [-2; 6] \] 3. Найдем пересечение решений на числовой прямой: Нам нужно найти общие части для \( (-\infty; 1] \cup [4; +\infty) \) и \( [-2; 6] \). Пересечением будет: \[ x \in [-2; 1] \cup [4; 6] \] 4. Определим целые решения системы: Из первого промежутка \( [-2; 1] \): \( -2, -1, 0, 1 \). Из второго промежутка \( [4; 6] \): \( 4, 5, 6 \). Наименьшее целое решение: \( -2 \). Наибольшее целое решение: \( 6 \). Ответ: Наименьшее целое решение: -2 Наибольшее целое решение: 6