Решение: Найти неизвестный член геометрической прогрессии

Дано: Последовательные члены геометрической прогрессии: \( ...; -1; x; -49; -343; ... \) Найти: \( x \) — неизвестный член прогрессии. Решение: Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого члена равен произведению двух соседних с ним членов. \[ x^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} \] Для искомого числа \( x \) соседними членами являются \( -1 \) и \( -49 \). Подставим их в формулу: \[ x^2 = (-1) \cdot (-49) \] \[ x^2 = 49 \] Отсюда \( x \) может быть равен либо \( 7 \), либо \( -7 \). Чтобы определить верный знак, найдем знаменатель прогрессии \( q \), используя два других известных последовательных члена: \( -49 \) и \( -343 \). \[ q = \frac{-343}{-49} = 7 \] Так как знаменатель \( q = 7 \) (положительное число), то все члены прогрессии должны иметь один и тот же знак. Поскольку в данной последовательности все известные члены отрицательные (\( -1, -49, -343 \)), то и \( x \) должен быть отрицательным. Проверим: \[ x = -1 \cdot 7 = -7 \] \[ -7 \cdot 7 = -49 \] Все условия выполняются. Ответ: \( -7 \).