Решение задач: Площадь равностороннего треугольника

Задача 1. Дано: равносторонний треугольник, сторона \( a = 96 \). Найти: \( \frac{S}{\sqrt{3}} \). Решение: Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставим значение стороны: \[ S = \frac{96^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9216 \sqrt{3}}{4} = 2304\sqrt{3} \] Найдем искомое значение: \[ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{2304\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2304 \] Ответ: 2304. Задача 2. Дано: равносторонний треугольник, периметр \( P = 276 \). Найти: \( \frac{S}{\sqrt{3}} \). Решение: 1) Найдем сторону треугольника: \[ a = \frac{P}{3} = \frac{276}{3} = 92 \] 2) Найдем площадь: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{92^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8464 \sqrt{3}}{4} = 2116\sqrt{3} \] 3) Найдем искомое значение: \[ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{2116\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2116 \] Ответ: 2116. Задача 3. Дано: равносторонний треугольник, высота \( h = 54 \). Найти: \( \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \). Решение: 1) Выразим сторону через высоту: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), тогда \( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \). \[ a = \frac{2 \cdot 54}{\sqrt{3}} = \frac{108}{\sqrt{3}} \] 2) Найдем площадь: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{108}{\sqrt{3}})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{11664}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3888\sqrt{3}}{4} = 972\sqrt{3} \] 3) Найдем искомое значение: \[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{972\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 972 \cdot 3 = 2916 \] Ответ: 2916. Задача 4. Дано: равнобедренный треугольник, боковая сторона \( b = 52 \), угол между ними \( \alpha = 150^\circ \). Найти: \( S \). Решение: Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(150^\circ) \] Так как \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot 52 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2704}{4} = 676 \] Ответ: 676. Задача 5. Дано: равнобедренный треугольник, \( P = 324 \), боковая сторона \( b = 90 \). Найти: \( S \). Решение: 1) Найдем основание \( a \): \[ a = P - 2b = 324 - 2 \cdot 90 = 324 - 180 = 144 \] 2) Найдем высоту \( h \), проведенную к основанию (по теореме Пифагора): \[ h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{90^2 - 72^2} = \sqrt{8100 - 5184} = \sqrt{2916} = 54 \] 3) Найдем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 54 = 72 \cdot 54 = 3888 \] Ответ: 3888.