Решение:

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задание 1. Заполнение таблицы Для решения используется формула скалярного произведения векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \] 1) Найти \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \] 2) Найти угол \(\alpha\): \[ 36 = 8 \cdot 9 \cdot \cos \alpha \Rightarrow 36 = 72 \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{36}{72} = 0,5 \Rightarrow \alpha = 60^\circ \] 3) Найти \(|\vec{a}|\): \[ 72 = |\vec{a}| \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ \Rightarrow 72 = |\vec{a}| \cdot 12 \cdot 0,5 \Rightarrow 72 = 6 \cdot |\vec{a}| \Rightarrow |\vec{a}| = 12 \] 4) Найти угол \(\alpha\): \[ 0 = 3 \cdot 4 \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ \] 5) Найти \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot 12 \cdot \cos 45^\circ = 108 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 54\sqrt{2} \] Задание 2. Найти скалярное произведение векторов 1) Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Треугольник равнобедренный (\(AB=BC=12\)), угол при основании \(30^\circ\). Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен \(30^\circ\). \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 30^\circ \] По теореме косинусов или через высоту: \(AC = 2 \cdot 12 \cdot \cos 30^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\). \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12 \cdot 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 144 \cdot \frac{3}{2} = 216 \] 2) Векторы \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\). Угол между ними \(20^\circ\). \(CB = 11\), \(CA = 8\). \[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 8 \cdot 11 \cdot \cos 20^\circ = 88 \cos 20^\circ \] 3) Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\). Угол между ними \(120^\circ\). \(BA = 5\), \(BC = 3\). \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 15 \cdot (-0,5) = -7,5 \] Задание 3. Определи вид угла (прямой, тупой или острый) Вид угла зависит от знака скалярного произведения: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\). Если \(>0\) — острый, если \(<0\) — тупой, если \(=0\) — прямой. 1) \(\vec{a}\{2; 5\}, \vec{b}\{4; 1\}\): \[ 2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 8 + 5 = 13 > 0 \Rightarrow \text{острый} \] 2) \(\vec{a}\{-3; 7\}, \vec{b}\{11; -5\}\): \[ -3 \cdot 11 + 7 \cdot (-5) = -33 - 35 = -68 < 0 \Rightarrow \text{тупой} \] 3) \(\vec{a}\{6; -5\}, \vec{b}\{3; -8\}\): \[ 6 \cdot 3 + (-5) \cdot (-8) = 18 + 40 = 58 > 0 \Rightarrow \text{острый} \] 4) \(\vec{a}\{-2; 7\}, \vec{b}\{7; 2\}\): \[ -2 \cdot 7 + 7 \cdot 2 = -14 + 14 = 0 \Rightarrow \text{прямой} \]