Решение задачи 107(а) по геометрии 7 класс

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 107 (а) Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). Внешний угол при вершине \(A\) равен \(115^{\circ}\). Найти: \(\angle A, \angle B, \angle C\). Решение: 1) Внутренний угол \(A\) и внешний угол при этой вершине являются смежными. Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\). \[\angle A = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\] 2) Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\) (по условию \(AB = BC\)), то углы при основании равны: \[\angle C = \angle A = 65^{\circ}\] 3) Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Найдем угол \(B\): \[\angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}\] Ответ: \(\angle A = 65^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}\). Задача 107 (б) Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). Внешний угол при вершине \(B\) равен \(130^{\circ}\). Найти: \(\angle A, \angle B, \angle C\). Решение: 1) Угол \(B\) и внешний угол при вершине \(B\) — смежные. \[\angle B = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}\] 2) Так как \(AB = BC\), то \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). Углы при основании равны: \(\angle A = \angle C\). 3) По теореме о сумме углов треугольника: \[\angle A + \angle C = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\] Так как \(\angle A = \angle C\), то: \[\angle A = \angle C = 130^{\circ} : 2 = 65^{\circ}\] (Также можно было использовать свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(130^{\circ} = \angle A + \angle C\)). Ответ: \(\angle B = 50^{\circ}, \angle A = 65^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}\). Задача 112 Дано: Внешний угол треугольника равен \(146^{\circ}\). Один из углов, не смежных с ним, равен \(89^{\circ}\). Найти: Второй угол треугольника, не смежный с внешним. Решение: Воспользуемся теоремой: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Пусть \(\alpha_{ext} = 146^{\circ}\) — внешний угол, а \(\beta = 89^{\circ}\) и \(\gamma\) — углы треугольника, не смежные с ним. Тогда: \[\alpha_{ext} = \beta + \gamma\] Отсюда находим неизвестный угол \(\gamma\): \[\gamma = \alpha_{ext} - \beta\] \[\gamma = 146^{\circ} - 89^{\circ} = 57^{\circ}\] Ответ: \(57^{\circ}\).