Решение:

Задание №3. Решить уравнение: \[ \frac{1}{2x-1} - \frac{13x-4}{4x^2-4x+1} = 4 \] Решение: Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: \( 4x^2-4x+1 = (2x-1)^2 \). Перепишем уравнение: \[ \frac{1}{2x-1} - \frac{13x-4}{(2x-1)^2} = 4 \] ОДЗ: \( 2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0,5 \). Приведем дроби к общему знаменателю \( (2x-1)^2 \): \[ \frac{2x-1 - (13x-4)}{(2x-1)^2} = 4 \] \[ \frac{2x-1-13x+4}{(2x-1)^2} = 4 \] \[ \frac{-11x+3}{(2x-1)^2} = 4 \] Умножим обе части на \( (2x-1)^2 \): \[ -11x+3 = 4(4x^2-4x+1) \] \[ -11x+3 = 16x^2-16x+4 \] \[ 16x^2 - 5x + 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 25 - 64 = -39 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. Задание №4. Пусть \( x \) км/ч — скорость по новому расписанию, тогда \( (x-10) \) км/ч — скорость по старому расписанию. Расстояние \( S = 325 \) км. Время по старому расписанию: \( t_1 = \frac{325}{x-10} \) ч. Время по новому расписанию: \( t_2 = \frac{325}{x} \) ч. Разница во времени составляет 40 минут, что равно \( \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \) часа. Составим уравнение: \[ \frac{325}{x-10} - \frac{325}{x} = \frac{2}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{325x - 325(x-10)}{x(x-10)} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{3250}{x^2-10x} = \frac{2}{3} \] \[ 2(x^2-10x) = 3 \cdot 3250 \] \[ 2x^2 - 20x - 9750 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 10x - 4875 = 0 \] \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600 = 140^2 \] \[ x_1 = \frac{10 + 140}{2} = 75 \] \[ x_2 = \frac{10 - 140}{2} = -65 \] (не подходит по смыслу задачи) Ответ: 75 км/ч. Задание №5. Решить уравнение: \[ \sqrt{x^2+3x+3} = 2x+1 \] Условие существования решения: \( 2x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0,5 \). Возведем обе части в квадрат: \[ x^2+3x+3 = (2x+1)^2 \] \[ x^2+3x+3 = 4x^2+4x+1 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 3x^2 + x - 2 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2 \] \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 \] Проверим корни по условию \( x \geq -0,5 \): \( x_1 = \frac{2}{3} \) — подходит. \( x_2 = -1 \) — не подходит. Ответ: \( \frac{2}{3} \).