Решение задачи 6.1: ТИХО + ТИГР = СПИТ

Решение задачи 6.1 Условие: В равенстве ТИХО + ТИГР = СПИТ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные — разными так, чтобы число ТИГР было как можно меньше. Нулей среди цифр нет. Решение: 1. Анализ разрядов: Рассмотрим сложение в столбик: \[ \begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c} & \text{Т} & \text{И} & \text{Х} & \text{О} \\ + & \text{Т} & \text{И} & \text{Г} & \text{Р} \\ \hline & \text{С} & \text{П} & \text{И} & \text{Т} \end{array} \] Заметим, что сумма двух четырехзначных чисел дает четырехзначное число. Это значит, что \( \text{Т} + \text{Т} \) (с учетом возможного переноса) не должно превышать 9. Следовательно, \( \text{Т} \) может быть только 1, 2, 3 или 4. 2. Минимизация ТИГР: Чтобы число ТИГР было минимальным, нужно выбирать минимально возможные цифры для старших разрядов слева направо. По условию нулей нет, значит минимальная цифра — 1. Попробуем \( \text{Т} = 1 \). Тогда число ТИГР начинается на 1. Это минимально возможный вариант для первой цифры. 3. Подбор цифр: Если \( \text{Т} = 1 \), то в разряде единиц: \( \text{О} + \text{Р} = 1 \) или \( \text{О} + \text{Р} = 11 \). Так как нулей нет, сумма двух разных цифр не может быть равна 1. Значит, \( \text{О} + \text{Р} = 11 \), и происходит перенос 1 в разряд десятков. В разряде тысяч: \( \text{Т} + \text{Т} = \text{С} \) или \( \text{Т} + \text{Т} + 1 = \text{С} \). Если \( \text{Т} = 1 \), то \( \text{С} = 2 \) или \( \text{С} = 3 \). Для минимизации ТИГР выберем для буквы И наименьшую свободную цифру. Цифра 1 занята (Т), попробуем \( \text{И} = 2 \). Тогда \( \text{С} \) не может быть 2, значит \( \text{С} = 3 \). Это происходит, если из разряда сотен был перенос. Проверим разряд сотен: \( \text{И} + \text{И} = \text{П} \) или \( \text{И} + \text{И} + 1 = \text{П} \). Если \( \text{И} = 2 \), то \( \text{П} = 4 \) или \( \text{П} = 5 \). Но чтобы был перенос в тысячи, сумма \( \text{И} + \text{И} \) должна быть больше 9, что невозможно при \( \text{И} = 2 \). Значит, \( \text{И} \) не может быть 2. Попробуем увеличить \( \text{И} \), чтобы возник перенос. Минимальное \( \text{И} \), дающее перенос: \( \text{И} = 5 \) (так как \( 5 + 5 = 10 \), но нулей нет, или \( 5 + 5 + 1 = 11 \), но 1 занята буквой Т). Попробуем \( \text{И} = 6 \). Тогда \( 6 + 6 = 12 \) или \( 6 + 6 + 1 = 13 \). Если \( \text{И} = 6 \), то \( \text{С} = \text{Т} + \text{Т} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \). В разряде сотен: \( 6 + 6 = 12 \), значит \( \text{П} = 2 \). Перенос в тысячи есть. Теперь разряд десятков: \( \text{Х} + \text{Г} + 1 = \text{И} = 6 \) (единица — перенос из \( \text{О} + \text{Р} = 11 \)). Тогда \( \text{Х} + \text{Г} = 5 \). Чтобы ТИГР был минимальным при \( \text{Т} = 1, \text{И} = 6 \), нужно взять минимальное \( \text{Г} \). Свободные цифры: 4, 5, 7, 8, 9. Если \( \text{Г} = 4 \), то \( \text{Х} = 1 \), но 1 занята (Т). Если \( \text{Г} = 5 \), то \( \text{Х} = 0 \), но нулей нет. Значит, \( \text{И} = 6 \) не подходит. Попробуем \( \text{И} = 7 \). Тогда \( \text{С} = 1 + 1 + 1 = 3 \). Разряд сотен: \( 7 + 7 = 14 \), значит \( \text{П} = 4 \). Разряд десятков: \( \text{Х} + \text{Г} + 1 = 7 \), то есть \( \text{Х} + \text{Г} = 6 \). Свободные цифры: 2, 5, 6, 8, 9. Минимальное \( \text{Г} = 2 \), тогда \( \text{Х} = 4 \), но 4 занята (П). Следующее \( \text{Г} = 5 \), тогда \( \text{Х} = 1 \), занята (Т). Следующее \( \text{Г} = 6 \), тогда \( \text{Х} = 0 \), нельзя. Попробуем \( \text{И} = 8 \). Тогда \( \text{С} = 3 \), \( \text{П} = 16 \) или \( 17 \). Если \( \text{П} = 6 \), то \( \text{Х} + \text{Г} + 1 = 8 \), т.е. \( \text{Х} + \text{Г} = 7 \). Свободные цифры: 2, 4, 5, 7, 9. Минимальное \( \text{Г} = 2 \), тогда \( \text{Х} = 5 \). Осталось найти \( \text{О} \) и \( \text{Р} \). Мы знаем \( \text{О} + \text{Р} = 11 \). Свободны: 4, 7, 9. Если \( \text{Р} = 4 \), то \( \text{О} = 7 \). Все цифры разные! Проверим: \( 1857 + 1824 = 3681 \). ТИХО (1857) + ТИГР (1824) = СПИТ (3681). Буквы: Т=1, И=8, Х=5, О=7, Г=2, Р=4, С=3, П=6. Все условия выполнены. ТИГР = 1824. 4. Почему меньше быть не может: Мы искали, начиная с \( \text{Т} = 1 \). При \( \text{И} < 5 \) нет переноса в тысячи, и \( \text{С} = \text{Т} + \text{Т} = 2 \). Тогда \( \text{И} + \text{И} = \text{П} \). Если \( \text{И} = 3 \), то \( \text{П} = 6 \). Разряд десятков: \( \text{Х} + \text{Г} + 1 = 3 \), значит \( \text{Х} + \text{Г} = 2 \), что невозможно для разных ненулевых цифр. При \( \text{И} = 5, 6, 7 \) вариантов не нашлось. Вариант с \( \text{И} = 8 \) и \( \text{Г} = 2 \) — первый подошедший. Ответ: ТИГР = 1824. (Пример: 1857 + 1824 = 3681)