Решение задачи №544 (а, б): Уравнения

Решение задачи № 544 (а, б) из учебника. Задание: Решите уравнение. а) \(\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11\) Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[x^2 - 1 - 22x = 22\] Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: \[x^2 - 22x - 1 - 22 = 0\] \[x^2 - 22x - 23 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576\] \[\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Ответ: -1; 23. б) \(\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}\) Воспользуемся свойством пропорции (перемножим крест-накрест): \[3(x^2 + x) = 2(8x - 7)\] \[3x^2 + 3x = 16x - 14\] Перенесем все в левую часть: \[3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0\] \[3x^2 - 13x + 14 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1\] \[\sqrt{D} = 1\] Находим корни: \[x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2\] Ответ: 2; \(2\frac{1}{3}\).