Решение задачи №1 по кинематике (Вариант 26)

Решение задачи №1 по кинематике (Вариант 26) Дано: Уравнения движения точки в координатной форме: \[ x = 4t + 4 \] \[ y = -\frac{4}{t+1} \] Момент времени: \( t_1 = 2 \, \text{с} \) Найти: 1) Уравнение траектории \( y = f(x) \). 2) Скорость точки \( v \) в момент \( t_1 \). 3) Ускорение точки \( a \) в момент \( t_1 \). 4) Радиус кривизны траектории \( \rho \). Решение: 1. Определение уравнения траектории. Выразим время \( t \) из первого уравнения: \[ x - 4 = 4t \Rightarrow t = \frac{x-4}{4} = \frac{x}{4} - 1 \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ y = -\frac{4}{(\frac{x}{4} - 1) + 1} = -\frac{4}{\frac{x}{4}} = -\frac{16}{x} \] Уравнение траектории: \( y = -\frac{16}{x} \). Это ветвь гиперболы. 2. Определение скорости точки. Найдем проекции скорости на оси координат как производные от координат по времени: \[ v_x = \dot{x} = \frac{d}{dt}(4t + 4) = 4 \, \text{см/с} \] \[ v_y = \dot{y} = \frac{d}{dt}(-4(t+1)^{-1}) = 4(t+1)^{-2} = \frac{4}{(t+1)^2} \] В момент времени \( t_1 = 2 \, \text{с} \): \[ v_x = 4 \, \text{см/с} \] \[ v_y = \frac{4}{(2+1)^2} = \frac{4}{9} \approx 0,44 \, \text{см/с} \] Модуль скорости: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + (4/9)^2} = \sqrt{16 + 16/81} = \sqrt{\frac{1312}{81}} \approx 4,02 \, \text{см/с} \] 3. Определение ускорения точки. Найдем проекции ускорения как производные от проекций скорости: \[ a_x = \dot{v}_x = \frac{d}{dt}(4) = 0 \, \text{см/с}^2 \] \[ a_y = \dot{v}_y = \frac{d}{dt}(4(t+1)^{-2}) = -8(t+1)^{-3} = -\frac{8}{(t+1)^3} \] В момент времени \( t_1 = 2 \, \text{с} \): \[ a_x = 0 \, \text{см/с}^2 \] \[ a_y = -\frac{8}{(2+1)^3} = -\frac{8}{27} \approx -0,30 \, \text{см/с}^2 \] Модуль ускорения: \[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + (-8/27)^2} = \frac{8}{27} \approx 0,30 \, \text{см/с}^2 \] 4. Определение касательного и нормального ускорений. Касательное ускорение: \[ a_{\tau} = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} = \frac{4 \cdot 0 + (4/9) \cdot (-8/27)}{4,02} = \frac{-32/243}{4,02} \approx -0,033 \, \text{см/с}^2 \] Нормальное ускорение: \[ a_n = \sqrt{a^2 - a_{\tau}^2} = \sqrt{(0,30)^2 - (-0,033)^2} \approx 0,298 \, \text{см/с}^2 \] 5. Определение радиуса кривизны. \[ \rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{4,02^2}{0,298} \approx \frac{16,16}{0,298} \approx 54,23 \, \text{см} \] Ответ: \( v \approx 4,02 \, \text{см/с} \), \( a \approx 0,30 \, \text{см/с}^2 \), \( \rho \approx 54,23 \, \text{см} \). Траектория — гипербола \( y = -16/x \).