Решение задачи №1 по Статике из Варианта 28

Решим задачу №1 по Статике из Варианта 28. Задача: Определение реакций опор твердого тела. Дано: \( q = 3 \, \text{кН/м} \) \( P = 10 \, \text{кН} \) \( M = 2 \, \text{кНм} \) \( \alpha = 60^\circ \) Размеры: плечо распределенной нагрузки \( 2 \, \text{м} \), высота стойки \( 2 \, \text{м} \), горизонтальное плечо до силы \( P \) равно \( 4 \, \text{м} \). Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \( q \) сосредоточенной силой \( Q \): \[ Q = q \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{кН} \] Точка приложения силы \( Q \) находится посередине участка длиной \( 2 \, \text{м} \), то есть на расстоянии \( 1 \, \text{м} \) от левого края. 2. Разложим силу \( P \) на составляющие: \[ P_x = P \cdot \cos(\alpha) = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5 \, \text{кН} \] \[ P_y = P \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \, \text{кН} \] 3. В опоре \( A \) (жесткая заделка) возникают три реакции: \( X_A \), \( Y_A \) и реактивный момент \( M_A \). Составим уравнения равновесия: \(\sum F_x = 0\): \[ X_A - P_x = 0 \Rightarrow X_A = P_x = 5 \, \text{кН} \] \(\sum F_y = 0\): \[ Y_A - Q - P_y = 0 \Rightarrow Y_A = Q + P_y = 6 + 8.66 = 14.66 \, \text{кН} \] \(\sum M_A = 0\) (момент относительно точки \( A \)): Примем направление против часовой стрелки за положительное. Расстояние от \( A \) до линии действия \( Q \) равно \( 1 \, \text{м} \) влево (плечо \( -1 \)). Расстояние от \( A \) до линии действия \( P_y \) равно \( 4 \, \text{м} \) вправо (плечо \( +4 \)). Расстояние от \( A \) до линии действия \( P_x \) равно \( 2 \, \text{м} \) вверх (плечо \( +2 \)). \[ M_A + Q \cdot 1 - M - P_y \cdot 4 - P_x \cdot 2 = 0 \] \[ M_A = -6 \cdot 1 + 2 + 8.66 \cdot 4 + 5 \cdot 2 \] \[ M_A = -6 + 2 + 34.64 + 10 = 40.64 \, \text{кНм} \] Ответ: \( X_A = 5 \, \text{кН} \), \( Y_A = 14.66 \, \text{кН} \), \( M_A = 40.64 \, \text{кНм} \). --- Решим задачу №1 по Кинематике (согласно тексту на листке: найти скорость, ускорение и радиус кривизны по уравнениям движения). Используем данные из нижней части фото (Вариант 26, задача 3, так как там даны уравнения \( x(t) \) и \( y(t) \)). Дано: \[ x = 4t + 4 \] \[ y = -\frac{4}{t+1} \] \( t_1 = 2 \, \text{с} \) Решение: 1. Скорость точки: Найдем проекции скорости как производные координат по времени: \[ v_x = \dot{x} = (4t + 4)' = 4 \, \text{м/с} \] \[ v_y = \dot{y} = \left( -4(t+1)^{-1} \right)' = 4(t+1)^{-2} = \frac{4}{(t+1)^2} \] При \( t = 2 \, \text{с} \): \[ v_x = 4 \, \text{м/с} \] \[ v_y = \frac{4}{(2+1)^2} = \frac{4}{9} \approx 0.44 \, \text{м/с} \] Модуль скорости: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + (4/9)^2} = \sqrt{16 + 0.1975} \approx 4.02 \, \text{м/с} \] 2. Ускорение точки: Найдем проекции ускорения: \[ a_x = \dot{v}_x = (4)' = 0 \, \text{м/с}^2 \] \[ a_y = \dot{v}_y = \left( 4(t+1)^{-2} \right)' = -8(t+1)^{-3} = -\frac{8}{(t+1)^3} \] При \( t = 2 \, \text{с} \): \[ a_x = 0 \] \[ a_y = -\frac{8}{(2+1)^3} = -\frac{8}{27} \approx -0.296 \, \text{м/с}^2 \] Модуль ускорения: \[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = 0.296 \, \text{м/с}^2 \] 3. Касательное и нормальное ускорения: \[ a_{\tau} = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} = \frac{4 \cdot 0 + (4/9) \cdot (-8/27)}{4.02} \approx -0.033 \, \text{м/с}^2 \] \[ a_n = \sqrt{a^2 - a_{\tau}^2} = \sqrt{0.296^2 - (-0.033)^2} \approx 0.294 \, \text{м/с}^2 \] 4. Радиус кривизны траектории: \[ \rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{4.02^2}{0.294} \approx 54.97 \, \text{м} \] Ответ: \( v \approx 4.02 \, \text{м/с} \), \( a \approx 0.3 \, \text{м/с}^2 \), \( \rho \approx 55 \, \text{м} \).