Решение: Расчет ступенчатого стержня на растяжение-сжатие

Контрольная работа №1. Расчет ступенчатого стержня на растяжение-сжатие. Исходные данные: \( l_1 = 1,1 \, \text{м} \); \( l_2 = 0,8 \, \text{м} \); \( l_3 = 1,2 \, \text{м} \). Площади сечений: \( A_1 = F = 12,5 \, \text{см}^2 = 12,5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \); \( A_2 = F \); \( A_3 = 2F = 25 \, \text{см}^2 = 25 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \). Силы: \( P = 75 \, \text{кН} \); \( q = 20 \, \text{кН/м} \). Характеристики материала: \( \sigma_T = 235 \, \text{МПа} \); \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} \). Решение: 1. Построение эпюры нормальных сил \( N_z \). Разобьем стержень на участки, начиная со свободного правого конца (ось \( z \) направим влево). Участок 1 (длиной \( l_3 = 1,2 \, \text{м} \)): \( 0 \le z_1 \le 1,2 \) \[ N_1(z_1) = 2P - q \cdot z_1 = 2 \cdot 75 - 20 \cdot z_1 = 150 - 20z_1 \, (\text{кН}) \] При \( z_1 = 0 \): \( N_1(0) = 150 \, \text{кН} \). При \( z_1 = 1,2 \): \( N_1(1,2) = 150 - 20 \cdot 1,2 = 126 \, \text{кН} \). Участок 2 (длиной \( l_2/2 = 0,4 \, \text{м} \)): \( 0 \le z_2 \le 0,4 \) \[ N_2(z_2) = N_1(1,2) - 4P = 126 - 4 \cdot 75 = 126 - 300 = -174 \, \text{кН} \] Участок 3 (длиной \( l_2/2 = 0,4 \, \text{м} \)): \( 0 \le z_3 \le 0,4 \) \[ N_3(z_3) = N_2(0,4) + 2P = -174 + 2 \cdot 75 = -174 + 150 = -24 \, \text{кН} \] Участок 4 (длиной \( l_1 = 1,1 \, \text{м} \)): \( 0 \le z_4 \le 1,1 \) \[ N_4(z_4) = N_3(0,4) = -24 \, \text{кН} \] 2. Построение эпюры нормальных напряжений \( \sigma \). Напряжения вычисляются по формуле \( \sigma = \frac{N}{A} \). Участок 1: \[ \sigma_1(0) = \frac{150 \cdot 10^3}{25 \cdot 10^{-4}} = 60 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 60 \, \text{МПа} \] \[ \sigma_1(1,2) = \frac{126 \cdot 10^3}{25 \cdot 10^{-4}} = 50,4 \, \text{МПа} \] Участок 2: \[ \sigma_2 = \frac{-174 \cdot 10^3}{12,5 \cdot 10^{-4}} = -139,2 \, \text{МПа} \] Участок 3: \[ \sigma_3 = \frac{-24 \cdot 10^3}{12,5 \cdot 10^{-4}} = -19,2 \, \text{МПа} \] Участок 4: \[ \sigma_4 = \frac{-24 \cdot 10^3}{12,5 \cdot 10^{-4}} = -19,2 \, \text{МПа} \] 3. Определение \( \sigma_{max} \) и коэффициента запаса \( n_T \). Максимальное по модулю напряжение: \[ \sigma_{max} = |\sigma_2| = 139,2 \, \text{МПа} \] Коэффициент запаса по текучести: \[ n_T = \frac{\sigma_T}{\sigma_{max}} = \frac{235}{139,2} \approx 1,69 \] 4. Продольные перемещения \( W \). Перемещения считаем от заделки (слева направо), где \( W = 0 \). Участок 4: \( \Delta l_4 = \frac{N_4 \cdot l_1}{E \cdot A_1} = \frac{-24 \cdot 10^3 \cdot 1,1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} = -0,1056 \cdot 10^{-3} \, \text{м} = -0,106 \, \text{мм} \) Участок 3: \( \Delta l_3 = \frac{-24 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} = -0,0384 \, \text{мм} \) Участок 2: \( \Delta l_2 = \frac{-174 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} = -0,2784 \, \text{мм} \) Участок 1: \( \Delta l_1 = \int \frac{N_1(z) dz}{E \cdot A_3} = \frac{(150+126)}{2} \cdot \frac{1,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 25 \cdot 10^{-4}} = 0,3312 \, \text{мм} \) Суммарное перемещение свободного конца: \[ W_{end} = -0,106 - 0,038 - 0,278 + 0,331 = -0,091 \, \text{мм} \]