Решение задачи: Доказательство подобия треугольников ABC и KBM и нахождение KM

Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\), \(BK = 1\), \(AK = 2\). Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), \(BM = 2\), \(MC = 4\). Сторона \(AC = 6\). Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle KBM\). Найти: \(KM\). Решение: 1. Рассмотрим стороны треугольников \(ABC\) и \(KBM\). Найдем длину стороны \(AB\): \[AB = BK + AK = 1 + 2 = 3\] Найдем длину стороны \(BC\): \[BC = BM + MC = 2 + 4 = 6\] 2. Сравним отношения соответствующих сторон в треугольниках \(ABC\) и \(KBM\): \[\frac{BK}{AB} = \frac{1}{3}\] \[\frac{BM}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Следовательно, \(\frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC}\). 3. У треугольников \(ABC\) и \(KBM\) угол \(B\) — общий. По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны), треугольники подобны: \[\triangle ABC \sim \triangle KBM\] Что и требовалось доказать. 4. Так как треугольники подобны, отношения всех соответствующих сторон равны коэффициенту подобия \(k\). Из пункта 2 мы выяснили, что \(k = \frac{1}{3}\). Значит: \[\frac{KM}{AC} = \frac{1}{3}\] Подставим известное значение \(AC = 6\): \[\frac{KM}{6} = \frac{1}{3}\] \[KM = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\] Ответ: \(KM = 2\).