Решение задачи №1208: Расчет энергии связи ядра

Задача №1208 (1176) Дано: Ядра: \( _{1}^{2}\text{H} \), \( _{3}^{6}\text{Li} \), \( _{3}^{7}\text{Li} \), \( _{6}^{12}\text{C} \), \( _{8}^{16}\text{O} \), \( _{13}^{27}\text{Al} \). Константы: Масса протона \( m_p = 1,00728 \) а.е.м. Масса нейтрона \( m_n = 1,00866 \) а.е.м. Коэффициент перевода \( k = 931,5 \) МэВ/а.е.м. Найти: \( E_{св} \) — энергию связи; \( E_{уд} = E_{св} / A \) — удельную энергию связи. Решение: Энергия связи рассчитывается по формуле: \[ E_{св} = \Delta m \cdot c^2 = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_{я}] \cdot 931,5 \text{ МэВ} \] где \( Z \) — число протонов, \( A \) — массовое число, \( M_{я} \) — масса ядра. Для расчетов удобнее использовать массы атомов \( M_{ат} \) и массу водорода \( m_H = 1,00783 \) а.е.м.: \[ E_{св} = [Z \cdot m_H + (A - Z) \cdot m_n - M_{ат}] \cdot 931,5 \] 1) Дейтерий \( _{1}^{2}\text{H} \) (\( Z=1, A=2, M_{ат}=2,01410 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 1 \cdot 1,00783 + 1 \cdot 1,00866 - 2,01410 = 0,00239 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,00239 \cdot 931,5 \approx 2,23 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 2,23 / 2 \approx 1,11 \text{ МэВ/нуклон} \] 2) Литий-6 \( _{3}^{6}\text{Li} \) (\( Z=3, A=6, M_{ат}=6,01512 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 3 \cdot 1,00783 + 3 \cdot 1,00866 - 6,01512 = 0,03435 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,03435 \cdot 931,5 \approx 32,0 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 32,0 / 6 \approx 5,33 \text{ МэВ/нуклон} \] 3) Литий-7 \( _{3}^{7}\text{Li} \) (\( Z=3, A=7, M_{ат}=7,01600 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 3 \cdot 1,00783 + 4 \cdot 1,00866 - 7,01600 = 0,04213 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,04213 \cdot 931,5 \approx 39,24 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 39,24 / 7 \approx 5,61 \text{ МэВ/нуклон} \] 4) Углерод-12 \( _{6}^{12}\text{C} \) (\( Z=6, A=12, M_{ат}=12,00000 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 6 \cdot 1,00783 + 6 \cdot 1,00866 - 12,00000 = 0,09894 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,09894 \cdot 931,5 \approx 92,16 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 92,16 / 12 \approx 7,68 \text{ МэВ/нуклон} \] 5) Кислород-16 \( _{8}^{16}\text{O} \) (\( Z=8, A=16, M_{ат}=15,99491 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 8 \cdot 1,00783 + 8 \cdot 1,00866 - 15,99491 = 0,13701 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,13701 \cdot 931,5 \approx 127,62 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 127,62 / 16 \approx 7,98 \text{ МэВ/нуклон} \] 6) Алюминий-27 \( _{13}^{27}\text{Al} \) (\( Z=13, A=27, M_{ат}=26,98154 \) а.е.м.): \[ \Delta m = 13 \cdot 1,00783 + 14 \cdot 1,00866 - 26,98154 = 0,24149 \text{ а.е.м.} \] \[ E_{св} = 0,24149 \cdot 931,5 \approx 224,95 \text{ МэВ} \] \[ E_{уд} = 224,95 / 27 \approx 8,33 \text{ МэВ/нуклон} \] Ответ: 1) 2,23 МэВ; 1,11 МэВ/нуклон. 2) 32,0 МэВ; 5,33 МэВ/нуклон. 3) 39,24 МэВ; 5,61 МэВ/нуклон. 4) 92,16 МэВ; 7,68 МэВ/нуклон. 5) 127,62 МэВ; 7,98 МэВ/нуклон. 6) 224,95 МэВ; 8,33 МэВ/нуклон.