Решение задачи по комбинаторике: выбор сотрудников в командировку

Задача по комбинаторике. Условие: Всего сотрудников: 10. Нужно выбрать в командировку: 4. Ограничение: начальник и его заместитель не должны уезжать одновременно. Решение: 1. Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 сотрудников из 10 без учета ограничений. Для этого воспользуемся формулой сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 \] 2. Теперь найдем количество "запрещенных" составов групп, в которых начальник и заместитель уезжают вместе. Если они оба уже включены в группу, то нам остается выбрать еще 2 человек из оставшихся 8 сотрудников (так как \( 10 - 2 = 8 \)): \[ C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] 3. Чтобы найти искомое количество способов, нужно из общего числа сочетаний вычесть количество запрещенных вариантов: \[ N = C_{10}^4 - C_8^2 = 210 - 28 = 182 \] Однако, перепроверив условие и предложенные варианты ответов, можно заметить, что число 182 отсутствует. Вероятно, в условии или вариантах допущена опечатка. Рассмотрим альтернативный метод решения (суммирование допустимых случаев): - Случай 1: Ни начальник, ни заместитель не едут. Выбираем 4 из 8: \( C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \). - Случай 2: Едет только начальник. Выбираем еще 3 из 8: \( C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \). - Случай 3: Едет только заместитель. Выбираем еще 3 из 8: \( C_8^3 = 56 \). Итого: \( 70 + 56 + 56 = 182 \). Если предположить, что в задаче опечатка и сотрудников было больше (например, 12), то ответ бы совпал с одним из вариантов. Но исходя из текста "10 человек", математически верный ответ — 182. Если же выбирать из предложенных вариантов наиболее близкий по логике тестов (где часто путают знаки), то ответа нет. Тем не менее, если следовать строго тексту задачи, ответ 182. Если это тест и нужно выбрать ответ, проверьте еще раз количество сотрудников в исходном тексте учебника. При \( n=11 \) ответ был бы 238. Ответ: 182 (в предложенных вариантах точного соответствия нет, возможно опечатка в условии в количестве сотрудников).