Решение задачи про правильную пирамиду

Вариант 2. 1. Выберите все верные варианты ответов: Пирамида называется правильной, если: а) Её основание — правильный многоугольник. в) Её высота проходит через центр основания. Ответ: а, в. (Примечание: пункты б и г являются следствиями определения, но не самим определением). 2. Установите соответствие между утверждениями о пирамидах и их принадлежностью к категориям: 1) Основание — многоугольник. (А — Верно для любой пирамиды) 2) Все боковые грани — равные треугольники. (Б — Верно только для правильной пирамиды) 3) Высота проходит через центр описанной окружности основания. (Б — Верно только для правильной пирамиды) 4) Все боковые рёбра равны. (Б — Верно только для правильной пирамиды) 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота — 4 см. Найдите длину бокового ребра. Решение: Пусть \(a = 6\) см — сторона основания, \(h = 4\) см — высота. Радиус \(R\) описанной окружности около правильного треугольника в основании: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}\] Боковое ребро \(L\) находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и ребром: \[L = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}\] Ответ: \(2\sqrt{7}\) см. 4. Заполните пропуски в тексте: В правильной пирамиде боковые рёбра равны. Высота пирамиды проходит через центр основания. Боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания. 5. Сравните площади боковых поверхностей двух правильных четырёхугольных пирамид с одинаковыми сторонами оснований, но разными высотами. Объясните, от чего зависит результат. Решение: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l\), где \(P\) — периметр основания, \(l\) — апофема. Апофема \(l = \sqrt{h^2 + r^2}\), где \(h\) — высота, \(r\) — радиус вписанной окружности основания. Так как основания одинаковые, то \(P\) и \(r\) равны. Следовательно, чем больше высота \(h\), тем больше апофема \(l\), и тем больше площадь боковой поверхности. Ответ: Площадь больше у той пирамиды, высота которой больше. 6. В решении задачи на вычисление объёма пирамиды ученик использовал формулу \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\). Всегда ли эта формула применима для любой пирамиды? Ответ обоснуйте. Ответ: Да, эта формула универсальна для любой пирамиды (правильной, наклонной, треугольной, n-угольной). Это фундаментальная теорема стереометрии. 7. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна 10 см, высота — 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Решение: 1) Найдем радиус вписанной окружности основания \(r\) из прямоугольного треугольника (высота, апофема, \(r\)): \[r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\] 2) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания \(a = 2r = 2 \cdot 6 = 12\) см. 3) Площадь основания: \(S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2\). 4) Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 12) \cdot 10 = 240 \text{ см}^2\). 5) Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 240 = 384 \text{ см}^2\). Ответ: 384 \(\text{см}^2\).