Решение задачи №116 (а) по тригонометрии

Решение задач по тригонометрии. № 116 (а) Дано: \( \sin t = \frac{4}{5} \), \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \) (II четверть). Найти: \( \cos t \), \( \text{tg } t \), \( \text{ctg } t \). Решение: 1) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] \[ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Так как \( t \) находится во II четверти, косинус там отрицательный: \[ \cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} = -0,6 \] 2) Находим тангенс: \[ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \] 3) Находим котангенс: \[ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{3}{4} = -0,75 \] Ответ: \( \cos t = -0,6 \); \( \text{tg } t = -1\frac{1}{3} \); \( \text{ctg } t = -0,75 \). № 117 (а) Дано: \( \cos t = 0,8 \), \( 0 < t < \frac{\pi}{2} \) (I четверть). Найти: \( \sin t \), \( \text{tg } t \), \( \text{ctg } t \). Решение: 1) Из основного тождества: \[ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \] Так как \( t \) в I четверти, синус положительный: \[ \sin t = \sqrt{0,36} = 0,6 \] 2) Находим тангенс: \[ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 \] 3) Находим котангенс: \[ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] Ответ: \( \sin t = 0,6 \); \( \text{tg } t = 0,75 \); \( \text{ctg } t = 1\frac{1}{3} \). № 118 (а) Дано: \( \text{tg } t = \frac{3}{4} \), \( 0 < t < \frac{\pi}{2} \) (I четверть). Найти: \( \text{ctg } t \), \( \cos t \), \( \sin t \). Решение: 1) Находим котангенс: \[ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] 2) Используем формулу связи тангенса и косинуса: \[ 1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} \] \[ \frac{1}{\cos^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \] \[ \cos^2 t = \frac{16}{25} \] В I четверти косинус положителен: \[ \cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0,8 \] 3) Находим синус: \[ \sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: \( \text{ctg } t = 1\frac{1}{3} \); \( \cos t = 0,8 \); \( \sin t = 0,6 \). № 119 (а) Дано: \( \text{ctg } t = \frac{12}{5} \), \( 3\pi < t < \frac{7\pi}{2} \) (III четверть). Найти: \( \text{tg } t \), \( \sin t \), \( \cos t \). Решение: 1) Находим тангенс: \[ \text{tg } t = \frac{1}{\text{ctg } t} = \frac{5}{12} \] 2) Используем формулу связи котангенса и синуса: \[ 1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} \] \[ \frac{1}{\sin^2 t} = 1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25} \] \[ \sin^2 t = \frac{25}{169} \] В III четверти синус отрицательный: \[ \sin t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \] 3) Находим косинус: \[ \cos t = \text{ctg } t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13} \] Ответ: \( \text{tg } t = \frac{5}{12} \); \( \sin t = -\frac{5}{13} \); \( \cos t = -\frac{12}{13} \).