Решение логарифмических уравнений из карточек

Решим логарифмические уравнения из представленных карточек. Карточка 1 1) \( \log_{\frac{1}{9}}(2x^2 - 2x - 1) = -\frac{1}{2} \) По определению логарифма: \[ 2x^2 - 2x - 1 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{1}{2}} \] \[ 2x^2 - 2x - 1 = (9)^{\frac{1}{2}} \] \[ 2x^2 - 2x - 1 = 3 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 2, x_2 = -1 \] Проверка ОДЗ (\( 2x^2 - 2x - 1 > 0 \)): При \( x = 2 \): \( 8 - 4 - 1 = 3 > 0 \) (подходит) При \( x = -1 \): \( 2 + 2 - 1 = 3 > 0 \) (подходит) Ответ: -1; 2. 2) \( \log_2(\sqrt{x} - 2) = 1 \) \[ \sqrt{x} - 2 = 2^1 \] \[ \sqrt{x} = 4 \] \[ x = 16 \] Проверка ОДЗ (\( \sqrt{x} - 2 > 0 \)): \( 4 - 2 = 2 > 0 \) (подходит) Ответ: 16. Карточка 2 \( \log_{x-1}(x^2 - 7x + 41) = 2 \) По определению: \[ x^2 - 7x + 41 = (x - 1)^2 \] \[ x^2 - 7x + 41 = x^2 - 2x + 1 \] \[ -7x + 2x = 1 - 41 \] \[ -5x = -40 \] \[ x = 8 \] Проверка ОДЗ (\( x-1 > 0, x-1 \neq 1 \)): \( 8-1 = 7 \) (условия \( 7 > 0 \) и \( 7 \neq 1 \) выполнены). Ответ: 8. Карточка 3 1) \( \log_{0,3}(x^2 + 3x - 4) - \log_{0,3}(2x + 2) = 0 \) \[ \log_{0,3}(x^2 + 3x - 4) = \log_{0,3}(2x + 2) \] \[ x^2 + 3x - 4 = 2x + 2 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -3, x_2 = 2 \] Проверка ОДЗ (\( 2x + 2 > 0 \Rightarrow x > -1 \)): \( x = -3 \) не подходит. \( x = 2 \) подходит (\( 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \)). Ответ: 2. 2) \( \log_2(x - 5) - \log_2(2x + 5) = 3 \) \[ \log_2\left(\frac{x - 5}{2x + 5}\right) = 3 \] \[ \frac{x - 5}{2x + 5} = 2^3 \] \[ \frac{x - 5}{2x + 5} = 8 \] \[ x - 5 = 8(2x + 5) \] \[ x - 5 = 16x + 40 \] \[ -15x = 45 \] \[ x = -3 \] Проверка ОДЗ (\( x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \)): \( x = -3 \) не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет. 3) \( \frac{\lg(x - 3)}{\lg(x^2 - 21)} = \frac{1}{2} \) \[ 2\lg(x - 3) = \lg(x^2 - 21) \] \[ \lg(x - 3)^2 = \lg(x^2 - 21) \] \[ x^2 - 6x + 9 = x^2 - 21 \] \[ -6x = -30 \] \[ x = 5 \] Проверка ОДЗ (\( x-3 > 0, x^2-21 > 0, x^2-21 \neq 1 \)): При \( x = 5 \): \( 5-3=2 > 0 \); \( 25-21=4 > 0 \) и \( 4 \neq 1 \). Ответ: 5. Карточка 4 1) \( \log_{0,5}^2 x + \log_{0,5} x = 2 \) Пусть \( \log_{0,5} x = t \): \[ t^2 + t - 2 = 0 \] \[ t_1 = -2, t_2 = 1 \] Обратная замена: \( \log_{0,5} x = -2 \Rightarrow x = (0,5)^{-2} = 4 \) \( \log_{0,5} x = 1 \Rightarrow x = 0,5 \) Ответ: 0,5; 4. 2) \( \frac{1}{12}\lg^2 x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\lg x \) Умножим на 12: \[ \lg^2 x = 4 - 3\lg x \] \[ \lg^2 x + 3\lg x - 4 = 0 \] Пусть \( \lg x = t \): \[ t^2 + 3t - 4 = 0 \Rightarrow t_1 = -4, t_2 = 1 \] Обратная замена: \( \lg x = -4 \Rightarrow x = 10^{-4} = 0,0001 \) \( \lg x = 1 \Rightarrow x = 10 \) Ответ: 0,0001; 10. 3) \( 0,25\lg^4 x + 8 = 3\lg^2 x \) Пусть \( \lg^2 x = t, t \ge 0 \): \[ 0,25t^2 - 3t + 8 = 0 \] Умножим на 4: \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \Rightarrow t_1 = 4, t_2 = 8 \] Обратная замена: \( \lg^2 x = 4 \Rightarrow \lg x = \pm 2 \Rightarrow x = 100, x = 0,01 \) \( \lg^2 x = 8 \Rightarrow \lg x = \pm \sqrt{8} \Rightarrow x = 10^{2\sqrt{2}}, x = 10^{-2\sqrt{2}} \) Ответ: 0,01; 100; \( 10^{-2\sqrt{2}} \); \( 10^{2\sqrt{2}} \).