Решение задач по геометрии: Вариант 3

Вариант 3 №1 В произвольном треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей стороны. Это основное неравенство треугольника. Ответ: В) Больше третьей стороны. №2 Дано: Рисунок 1, \(KL = ML\), \(KF = MF\). Доказать: \(\triangle KLF = \triangle MLF\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(KLF\) и \(MLF\). 1) \(KL = ML\) (по условию); 2) \(KF = MF\) (по условию); 3) Сторона \(LF\) — общая. Следовательно, \(\triangle KLF = \triangle MLF\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Что и требовалось доказать. №3 Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(BC = 12\) см (катет), \(\angle A = 30^\circ\). Найти: \(AB\) (гипотенуза). Решение: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Так как катет \(BC\) лежит против угла \(A = 30^\circ\), то: \[BC = \frac{1}{2} AB\] Отсюда: \[AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (см)}\] Ответ: 24 см. №4 Дано: \(\triangle KLM\) — прямоугольный (\(\angle M = 90^\circ\)), \(ME\) — медиана, \(\angle L = 30^\circ\), \(MK = 5\) см. Найти: \(ME\). Решение: 1) В \(\triangle KLM\) катет \(MK\) лежит против угла \(L = 30^\circ\), значит гипотенуза \(KL\) в два раза больше катета \(MK\): \[KL = 2 \cdot MK = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)}\] 2) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: \[ME = \frac{1}{2} KL = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ (см)}\] Ответ: 5 см. №5 Дано: \(\triangle LKN\) — равнобедренный (\(LK = KN\)), \(KM\) — высота, \(\angle NKL = 60^\circ\), \(NM = 8\) см. Найти: \(KL\), \(NL\). Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота \(KM\), проведенная к основанию \(LN\), является также медианой. Значит: \[NL = 2 \cdot NM = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (см)}\] 2) Так как \(\triangle LKN\) равнобедренный с углом при вершине \(60^\circ\), то он является равносторонним (углы при основании равны \((180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ\)). Следовательно, \(KL = LN = 16\) см. Ответ: \(KL = 16\) см, \(NL = 16\) см. №6 Дано: Рисунок 3, \(KL = LM\), \(MK = KN\), \(\angle KNM = 45^\circ\). Найти: \(\angle LKM\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle MKN\). По условию \(MK = KN\), значит он равнобедренный. Углы при основании равны: \[\angle KMN = \angle KNM = 45^\circ\] 2) Найдем угол при вершине \(\triangle MKN\): \[\angle MKN = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\] 3) Углы \(\angle LKM\) и \(\angle MKN\) являются смежными (исходя из рисунка, где точки L, M, N лежат на одной прямой или образуют развернутый угол, однако по чертежу видно, что это внешние углы). Если предположить, что \(L, M, N\) лежат на одной прямой: \[\angle LKM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\] Если же рассматривать \(\triangle LKM\) как равнобедренный (\(KL=LM\)), то без дополнительных данных об углах этого треугольника точное значение найти сложно, но обычно в таких задачах подразумевается использование свойств смежных углов или внешнего угла. Ответ: \(90^\circ\).