Решение задачи: Квадрат и Окружность, Длина Дуги (Вариант 2)

Вариант 2 Задача 1. Дано: квадрат описан около окружности, сторона квадрата \( a = 6 \) см. Найти: \( S_{кр.} \), \( C \). Решение: 1. Если квадрат описан около окружности, то диаметр окружности равен стороне квадрата: \[ d = a = 6 \text{ см} \] 2. Радиус окружности равен половине диаметра: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \] 3. Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \): \[ S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ см}^2 \] 4. Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2\pi r \): \[ C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \text{ см} \] Ответ: \( 9\pi \text{ см}^2 \); \( 6\pi \text{ см} \). Задача 2. Дано: \( R = 10 \) см, \( \alpha = 150^\circ \). Найти: \( l \), \( S_{сект.} \). Решение: 1. Длина дуги окружности: \[ l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 150}{180} = \frac{1500\pi}{180} = \frac{25\pi}{3} \text{ см} \] 2. Площадь кругового сектора: \[ S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 150}{360} = \frac{15000\pi}{360} = \frac{125\pi}{3} \text{ см}^2 \] Ответ: \( \frac{25\pi}{3} \text{ см} \); \( \frac{125\pi}{3} \text{ см}^2 \). Задача 3. Дано: \( P_{кв.} = 16 \) дм, окружность вписана в квадрат и описана около правильного пятиугольника (\( n=5 \)). Найти: \( P_5 \). Решение: 1. Сторона квадрата: \( a_{кв.} = \frac{P}{4} = \frac{16}{4} = 4 \) дм. 2. Радиус вписанной в квадрат окружности: \( r = \frac{a_{кв.}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) дм. 3. Для пятиугольника этот радиус является радиусом описанной окружности \( R = r = 2 \) дм. 4. Сторона правильного пятиугольника через радиус описанной окружности: \[ a_5 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right) = 2 \cdot 2 \cdot \sin 36^\circ = 4 \sin 36^\circ \] 5. Периметр пятиугольника: \[ P_5 = 5 \cdot a_5 = 5 \cdot 4 \sin 36^\circ = 20 \sin 36^\circ \text{ дм} \] (Используя значение \( \sin 36^\circ \approx 0,588 \)): \[ P_5 \approx 20 \cdot 0,588 \approx 11,76 \text{ дм} \] Ответ: \( 20 \sin 36^\circ \text{ дм} \). Задача 4*. Дано: \( d = 10\sqrt{2} \), \( O \) — центр. На рис. 12.56 заштрихован сегмент, отсекаемый хордой \( AB \), где \( \triangle ABC \) вписан в окружность. Судя по рисунку, \( AC \) и \( BC \) — катеты прямоугольного треугольника, а \( AB \) — гипотенуза (диаметр). Однако, если заштрихована область, ограниченная дугой и хордой, образующей прямой угол в центре: Решение: 1. Радиус окружности: \( R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \). 2. Если заштрихованная фигура — это сегмент, опирающийся на центральный угол \( 90^\circ \) (четверть круга без треугольника): \[ S_{сегм.} = S_{сект.} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2}{4} - \frac{R^2}{2} \] \[ S = \frac{\pi (5\sqrt{2})^2}{4} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{2} = \frac{50\pi}{4} - \frac{50}{2} = 12,5\pi - 25 \] Ответ: \( 12,5\pi - 25 \).