Решение дифференциального уравнения y^2*y' = x^3

Решение дифференциального уравнения: \[ y^2 \cdot y' = x^3 \] 1. Заменим \( y' \) на отношение дифференциалов \( \frac{dy}{dx} \): \[ y^2 \frac{dy}{dx} = x^3 \] 2. Разделим переменные, перенеся \( dx \) в правую часть уравнения: \[ y^2 dy = x^3 dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int y^2 dy = \int x^3 dx \] 4. Вычислим интегралы, используя формулу \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \): \[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^4}{4} + C_1 \] где \( C_1 \) — произвольная постоянная. 5. Выразим \( y^3 \), умножив всё уравнение на 3: \[ y^3 = \frac{3x^4}{4} + 3C_1 \] Для удобства обозначим \( 3C_1 \) как новую константу \( C \): \[ y^3 = \frac{3}{4}x^4 + C \] 6. Извлечем кубический корень, чтобы найти общее решение: \[ y = \sqrt[3]{\frac{3}{4}x^4 + C} \] Ответ: \( y = \sqrt[3]{\frac{3}{4}x^4 + C} \)