Решение уравнения x³ + 5x² - 4x - 20 = 0 (Задание 20)

Задание 20 Решите уравнение: \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 \] Решение: Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: \[ (x^3 + 5x^2) - (4x + 20) = 0 \] Вынесем общие множители за скобки: \[ x^2(x + 5) - 4(x + 5) = 0 \] Теперь вынесем общий множитель \( (x + 5) \): \[ (x + 5)(x^2 - 4) = 0 \] Разложим выражение во второй скобке по формуле разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x + 5)(x - 2)(x + 2) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5 \) 2) \( x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 \) 3) \( x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2 \) Ответ: -5; -2; 2. Задание 21 Условие: Два автомобиля одновременно отправляются в 475-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. Решение: Пусть \( x \) км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля равна \( (x - 18) \) км/ч. Расстояние пробега составляет 475 км. Время в пути первого автомобиля: \( t_1 = \frac{475}{x} \) ч. Время в пути второго автомобиля: \( t_2 = \frac{475}{x - 18} \) ч. По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Составим уравнение: \[ \frac{475}{x - 18} - \frac{475}{x} = 2 \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{475x - 475(x - 18)}{x(x - 18)} = 2 \] \[ \frac{475x - 475x + 8550}{x^2 - 18x} = 2 \] \[ \frac{8550}{x^2 - 18x} = 2 \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ \frac{4275}{x^2 - 18x} = 1 \] \[ x^2 - 18x - 4275 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4275) = 324 + 17100 = 17424 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{17424} = 132 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{18 + 132}{2} = \frac{150}{2} = 75 \] \[ x_2 = \frac{18 - 132}{2} = \frac{-114}{2} = -57 \] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только значение \( x = 75 \). Ответ: 75 км/ч.