Решение задач №4 и №5 (Вариант 2): Теория вероятностей

Решение задач из варианта №2 (Математика, профильный уровень). Задача 4. Условие: В коробке 30 пакетиков с фруктовым чаем, 55 — с чёрным и 15 — с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакетик не окажется с фруктовым чаем. Решение: 1) Найдём общее количество пакетиков в коробке: \[ 30 + 55 + 15 = 100 \] 2) Найдём количество пакетиков, которые не являются фруктовыми (чёрный и зелёный): \[ 55 + 15 = 70 \] 3) Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{70}{100} = 0,7 \] Ответ: 0,7 Задача 5. Условие: Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: 1) Событие "хотя бы одна не перегорит" противоположно событию "обе лампы перегорят". 2) Вероятность того, что одна лампа перегорит: \( p = 0,4 \). 3) Вероятность того, что перегорят обе лампы (события независимы): \[ P(A) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \] 4) Искомая вероятность: \[ P = 1 - P(A) = 1 - 0,16 = 0,84 \] Ответ: 0,84 Задача 6. Условие: Найдите корень уравнения \( \frac{x}{x-1} = \frac{x-1}{x} \). Решение: 1) Перемножим крест-накрест (при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 1 \)): \[ x^2 = (x-1)^2 \] 2) Раскроем скобки: \[ x^2 = x^2 - 2x + 1 \] 3) Перенесём слагаемые: \[ 2x = 1 \] \[ x = 0,5 \] Ответ: 0,5 Задача 7. Условие: Найдите значение выражения \( \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{3\sqrt{3}+\sqrt{11}} \). Решение: 1) Используем свойство корня \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \): \[ \sqrt{(3\sqrt{3}-\sqrt{11})(3\sqrt{3}+\sqrt{11})} \] 2) Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2} = \sqrt{9 \cdot 3 - 11} = \sqrt{27 - 11} = \sqrt{16} = 4 \] Ответ: 4 Задача 8. Условие: Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \). Решение: 1) Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной или коэффициенту \( k \) прямой \( y = kx + b \). 2) Выберем две точки на касательной, лежащие в узлах сетки. Например: \( (-3; 2) \) и \( (1; 1) \). 3) Найдём приращение \( y \) и приращение \( x \): \[ \Delta y = 1 - 2 = -1 \] \[ \Delta x = 1 - (-3) = 4 \] 4) Вычислим производную: \[ f'(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-1}{4} = -0,25 \] Ответ: -0,25 Задача 9. Условие: \( C = 2 \cdot 10^{-6} \), \( R = 5 \cdot 10^6 \), \( U_0 = 16 \), \( \alpha = 0,7 \), \( t = 21 \). Найти \( U \). Решение: 1) Подставим данные в формулу \( t = \alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U} \): \[ 21 = 0,7 \cdot (5 \cdot 10^6) \cdot (2 \cdot 10^{-6}) \cdot \log_2 \frac{16}{U} \] 2) Вычислим произведение: \( 0,7 \cdot 5 \cdot 2 = 7 \). \[ 21 = 7 \cdot \log_2 \frac{16}{U} \] 3) Разделим на 7: \[ 3 = \log_2 \frac{16}{U} \] 4) По определению логарифма: \[ \frac{16}{U} = 2^3 = 8 \] \[ U = \frac{16}{8} = 2 \] Ответ: 2 Задача 12. Условие: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). Найти \( x \), при котором производная принимает наименьшее значение. Решение: 1) Найдем производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2) Нам нужно найти минимум функции \( g(x) = 3x^2 - 12x + 9 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. 3) Минимум достигается в вершине параболы: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \] Ответ: 2