Решение задач: Перпендикуляр и наклонная

Ниже представлены решения задач из таблицы 10.11 по теме Перпендикуляр и наклонная. Во всех задачах \(AA_1 \perp \alpha\), следовательно, треугольники \(AA_1B\) и \(AA_1C\) являются прямоугольными с прямым углом при вершине \(A_1\). Задача 1. Дано: \(AA_1 = 5\), \(BA_1 = 12\). Найти \(x\) (наклонную \(AB\)). По теореме Пифагора в \(\triangle AA_1B\): \[x = \sqrt{AA_1^2 + BA_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] Ответ: \(x = 13\). Задача 2. Дано: \(AB = 8\), \(\angle ABA_1 = 30^\circ\). Найти \(x\) (\(AA_1\)) и \(y\) (\(BA_1\)). 1) В прямоугольном \(\triangle AA_1B\) катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[x = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\] 2) По теореме Пифагора: \[y = \sqrt{AB^2 - x^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\] Ответ: \(x = 4\), \(y = 4\sqrt{3}\). Задача 3. Дано: \(AA_1 = a\), \(\angle A_1AB = \alpha\). Найти \(x\) (\(AB\)) и \(y\) (\(BA_1\)). 1) Из \(\triangle AA_1B\): \(\cos \alpha = \frac{AA_1}{AB} \Rightarrow x = \frac{a}{\cos \alpha}\). 2) \(\tan \alpha = \frac{BA_1}{AA_1} \Rightarrow y = a \cdot \tan \alpha\). Ответ: \(x = \frac{a}{\cos \alpha}\), \(y = a \tan \alpha\). Задача 4. Дано: \(AB = 17\), \(BA_1 = 15\), \(AC = 10\). Найти \(x\) (\(A_1C\)). 1) Из \(\triangle AA_1B\) по теореме Пифагора найдем высоту \(AA_1\): \[AA_1 = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8\] 2) Из \(\triangle AA_1C\) по теореме Пифагора: \[x = \sqrt{AC^2 - AA_1^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\] Ответ: \(x = 6\). Задача 5. Дано: \(AB = 12\), \(\angle ABA_1 = 60^\circ\), \(A_1C = 6\sqrt{6}\). Найти \(x\) (\(AC\)). 1) В \(\triangle AA_1B\): \(AA_1 = AB \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\). 2) В \(\triangle AA_1C\) по теореме Пифагора: \[x = \sqrt{AA_1^2 + A_1C^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{6})^2} = \sqrt{108 + 216} = \sqrt{324} = 18\] Ответ: \(x = 18\). Задача 6. Дано: \(AC = a\), \(\angle ACA_1 = \alpha\). Найти \(x\) (\(A_1B\)), если \(BA_1 \perp CA_1\) и \(CA_1 = b\). 1) В \(\triangle AA_1C\): \(AA_1 = a \cdot \sin \alpha\). 2) В \(\triangle AA_1B\) (если \(x\) — это гипотенуза \(AB\)): \(x = \sqrt{AA_1^2 + A_1B^2}\). Однако на чертеже \(x\) — это проекция \(A_1B\). Если \(AB\) перпендикулярна \(BC\), нужны дополнительные данные. Предположим, нужно найти проекцию \(x\), зная что \(AB\) образует какой-то угол, но данных недостаточно. Если \(x\) — это \(A_1B\), и треугольник \(A_1CB\) прямоугольный в плоскости, то \(x\) нельзя найти без угла или стороны в плоскости. Вероятно, в условии подразумевается, что \(AB\) или \(BC\) имеют заданную длину. Задача 7. Дано: \(AA_1 = 8\), \(\angle A_1AC = 60^\circ\), \(BA_1 = 12\), \(\angle BA_1C = 90^\circ\). Найти \(x\) (\(BC\)). 1) В \(\triangle AA_1C\): \(A_1C = AA_1 \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt{3}\). 2) В прямоугольном \(\triangle BA_1C\) (в плоскости \(\alpha\)): \[x = \sqrt{BA_1^2 + A_1C^2} = \sqrt{12^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 192} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21}\] Ответ: \(x = 4\sqrt{21}\).