Решение уравнений (Вариант 2)

Решение уравнений (Вариант 2) Задание 1. Решите уравнения: а) \( 3x - \frac{6}{11} = 0 \) \( 3x = \frac{6}{11} \) \( x = \frac{6}{11} : 3 \) \( x = \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{3} \) \( x = \frac{2}{11} \) Ответ: \( \frac{2}{11} \). б) \( 4(2 - 4x) + 6x = 3 \) \( 8 - 16x + 6x = 3 \) \( -10x = 3 - 8 \) \( -10x = -5 \) \( x = \frac{-5}{-10} \) \( x = 0,5 \) Ответ: \( 0,5 \). в) \( (x - 4)(1 + x) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. \( x - 4 = 0 \) или \( 1 + x = 0 \) \( x_1 = 4 \); \( x_2 = -1 \) Ответ: \( -1; 4 \). Задание 2. Решите уравнения: а) \( 6x - 5x^2 = 0 \) \( x(6 - 5x) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( 6 - 5x = 0 \) \( -5x = -6 \) \( x_2 = 1,2 \) Ответ: \( 0; 1,2 \). б) \( 25x^2 = 1 \) \( x^2 = \frac{1}{25} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} \) \( x_1 = 0,2 \); \( x_2 = -0,2 \) Ответ: \( \pm 0,2 \). в) \( 4x^2 - 7x - 2 = 0 \) Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \) \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{8} \) \( x_1 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2 \) \( x_2 = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -0,25 \) Ответ: \( -0,25; 2 \). Задание 3. Решите биквадратное уравнение: \( x^4 - 17x^2 + 16 = 0 \) Пусть \( x^2 = t \), где \( t \ge 0 \). \( t^2 - 17t + 16 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 16 \); \( t_2 = 1 \) Обратная замена: 1) \( x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \) 2) \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) Ответ: \( -4; -1; 1; 4 \). Задание 4. Решите уравнение методом замены переменной: \( (x^2 - 3)^2 + (x^2 - 3) - 2 = 0 \) Пусть \( x^2 - 3 = t \). \( t^2 + t - 2 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = -2 \); \( t_2 = 1 \) Обратная замена: 1) \( x^2 - 3 = -2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) 2) \( x^2 - 3 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \) Ответ: \( -2; -1; 1; 2 \). Задание 5. Решите уравнение методом замены переменной: \( (x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0 \) Пусть \( x^2 - 2x = t \). \( t^2 - 2t - 3 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 3 \); \( t_2 = -1 \) Обратная замена: 1) \( x^2 - 2x = 3 \) \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \) \( x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 3; x_2 = -1 \) 2) \( x^2 - 2x = -1 \) \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) \( (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = 1 \) Ответ: \( -1; 1; 3 \).