Решение задач с векторами: скалярное произведение и перпендикулярность

Вариант 1 №1. Дано: \(\vec{m} \{3; -2\}\) \(\vec{n} \{-2; 3\}\) Найти: \(\vec{m} \cdot \vec{n}\) Решение: Скалярное произведение векторов через их координаты вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\] Подставим значения координат векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\): \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -6 - 6 = -12\] Ответ: -12. №2. Дано: \(\vec{a} \{2; -3\}\) \(\vec{b} \{x; -4\}\) \(\vec{a} \perp \vec{b}\) Найти: \(x\) Решение: Условие перпендикулярности векторов заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\] Составим уравнение на основе координат: \[2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 0\] \[2x + 12 = 0\] \[2x = -12\] \[x = -6\] Ответ: при \(x = -6\). №3. Дано: \(A (3; 9)\), \(B (0; 6)\), \(C (4; 2)\) Найти: \(\cos A\) Решение: Угол \(A\) — это угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). 1) Найдем координаты векторов: \[\vec{AB} = \{0 - 3; 6 - 9\} = \{-3; -3\}\] \[\vec{AC} = \{4 - 3; 2 - 9\} = \{1; -7\}\] 2) Найдем длины этих векторов: \[|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] 3) Найдем скалярное произведение векторов: \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\] 4) Вычислим косинус угла по формуле: \[\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\] \[\cos A = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = 0,6\] Ответ: \(\cos A = 0,6\).