Решение: Уравнение касательной плоскости и нормали

Задание: Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке. Дано: Уравнение поверхности: \( x^2 + y^2 - z^2 = y + z + 3 \) Точка: \( M_0(1; 2; 0) \) Решение: 1. Приведем уравнение поверхности к виду \( F(x, y, z) = 0 \): \[ F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - y - z - 3 = 0 \] 2. Найдем частные производные функции \( F(x, y, z) \): \[ F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x \] \[ F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 2y - 1 \] \[ F'_z = \frac{\partial F}{\partial z} = -2z - 1 \] 3. Вычислим значения частных производных в точке \( M_0(1; 2; 0) \): \[ A = F'_x(M_0) = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ B = F'_y(M_0) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \] \[ C = F'_z(M_0) = -2 \cdot 0 - 1 = -1 \] 4. Составим уравнение касательной плоскости по формуле: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Подставляем значения: \[ 2(x - 1) + 3(y - 2) - 1(z - 0) = 0 \] Раскрываем скобки: \[ 2x - 2 + 3y - 6 - z = 0 \] \[ 2x + 3y - z - 8 = 0 \] 5. Составим канонические уравнения нормали по формуле: \[ \frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C} \] Подставляем значения: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{-1} \] Ответ: Уравнение касательной плоскости: \( 2x + 3y - z - 8 = 0 \) Уравнение нормали: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{-1} \)