Решение: Контрольная работа по алгебре. Вариант 2. Задание 1

Контрольная работа по алгебре. Вариант 2. Задание 1. Решите неравенства методом интервалов. а) \(\frac{x+5}{3x-6} < 0\) Решение: Найдем корни числителя и знаменателя: 1) \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) 2) \(3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\) Отметим точки на числовой прямой (точки выколотые, так как неравенство строгое). Определим знаки на интервалах: При \(x = 0\): \(\frac{0+5}{0-6} = -\frac{5}{6} < 0\) (минус). Интервалы: \((-\infty; -5)\) — плюс, \((-5; 2)\) — минус, \((2; +\infty)\) — плюс. Нам нужен интервал со знаком минус. Ответ: \(x \in (-5; 2)\) б) \((2x-6)(4+x)(1-x) > 0\) Решение: Найдем корни множителей: 1) \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\) 2) \(4 + x = 0 \Rightarrow x = -4\) 3) \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\) Расставим знаки на интервалах. Заметим, что перед \(x\) в последней скобке стоит минус, значит крайний правый интервал будет иметь знак минус (или можно подставить число). При \(x = 4\): \((8-6)(4+4)(1-4) = 2 \cdot 8 \cdot (-3) = -48 < 0\). Интервалы: \((-\infty; -4)\) — плюс, \((-4; 1)\) — минус, \((1; 3)\) — плюс, \((3; +\infty)\) — минус. Нам нужны интервалы со знаком плюс. Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; 3)\) Задание 2. Решите систему неравенств. \[ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0 \\ x^2 - 4x + 4 > 0 \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство \(x^2 + x - 6 \le 0\). Корни уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) по теореме Виета: \(x_1 = -3, x_2 = 2\). График — парабола ветвями вверх. Решение: \(x \in [-3; 2]\). 2) Решим второе неравенство \(x^2 - 4x + 4 > 0\). Заметим формулу квадрата разности: \((x - 2)^2 > 0\). Квадрат любого числа всегда неотрицателен. Выражение равно нулю только при \(x = 2\). Значит, решением являются все числа, кроме 2. Решение: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\). 3) Найдем пересечение решений: Интервал \([-3; 2]\) и условие \(x \neq 2\). Ответ: \(x \in [-3; 2)\) Задание 3. Решите неравенство. \((2x+1)(x-3) < x^2 + 21\) Решение: Раскроем скобки: \(2x^2 - 6x + x - 3 < x^2 + 21\) \(2x^2 - 5x - 3 - x^2 - 21 < 0\) \(x^2 - 5x - 24 < 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 - 5x - 24 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2\) \(x_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3\) Так как это парабола ветвями вверх и знак \(<\), выбираем внутренний интервал. Ответ: \(x \in (-3; 8)\) Задание 4. Решите систему неравенств. \[ \begin{cases} x^2 + 2x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство \(x^2 + 2x > 0\): \(x(x + 2) > 0\) Корни: \(x = 0\) и \(x = -2\). Интервалы: \((-\infty; -2) \cup (0; +\infty)\). 2) Второе условие: \(x > 0\). 3) Пересекаем решения: Условие \(x > 0\) полностью входит в интервал \((0; +\infty)\) первого неравенства. Ответ: \(x \in (0; +\infty)\)