Решение задачи с двоичными числами и системами счисления

Ниже представлено решение задач из Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Даны 4 целых числа в двоичной системе: \(10001011_2\), \(10111000_2\), \(10011011_2\), \(10110100_2\). Сколько среди них чисел, больших, чем \(A4_{16} + 20_8\)? Решение: 1) Переведем контрольное значение в десятичную систему: \[A4_{16} = 10 \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 160 + 4 = 164_{10}\] \[20_8 = 2 \cdot 8^1 + 0 \cdot 8^0 = 16_{10}\] \[164 + 16 = 180_{10}\] 2) Переведем двоичные числа в десятичную систему: \(10001011_2 = 128 + 8 + 2 + 1 = 139\) (меньше 180) \(10111000_2 = 128 + 32 + 16 + 8 = 184\) (больше 180) \(10011011_2 = 128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155\) (меньше 180) \(10110100_2 = 128 + 32 + 16 + 4 = 180\) (равно 180, не больше) Среди данных чисел только одно больше 180. Ответ: 1. Задача 2. Какой минимальный объем памяти (в Кбайт) нужно зарезервировать для изображения \(256 \times 128\) пикселей при условии, что используются 8 различных цветов? Решение: 1) Найдем количество бит на один пиксель (\(i\)) через формулу \(N = 2^i\), где \(N = 8\): \[2^i = 8 \Rightarrow i = 3 \text{ бита}\] 2) Вычислим общий объем в битах: \[I = 256 \cdot 128 \cdot 3 = 32768 \cdot 3 = 98304 \text{ бита}\] 3) Переведем в Кбайты: \[98304 / 8 = 12288 \text{ байт}\] \[12288 / 1024 = 12 \text{ Кбайт}\] Ответ: 12. Задача 3. Двухканальная запись (стерео), частота 32 кГц, 24 бита. Размер файла 60 Мбайт. Найти время записи. Решение: Формула объема аудиофайла: \(I = k \cdot f \cdot i \cdot t\), где \(k=2\) (стерео), \(f=32000\) Гц, \(i=24\) бита. 1) Переведем 60 Мбайт в биты: \[60 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 8 = 503316480 \text{ бит}\] 2) Найдем время \(t\) в секундах: \[t = \frac{I}{k \cdot f \cdot i} = \frac{503316480}{2 \cdot 32000 \cdot 24} = \frac{503316480}{1536000} \approx 327,68 \text{ сек}\] 3) Переведем в минуты: \[327,68 / 60 \approx 5,46 \text{ мин}\] Наиболее близкое значение из предложенных — 5 минут. Ответ: 2) 5 мин. Задача 5. Решите уравнение \(42_5 + x = 1122_3\). Ответ запишите в четверичной системе. Решение: 1) Переведем числа в десятичную систему: \[42_5 = 4 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 = 20 + 2 = 22_{10}\] \[1122_3 = 1 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 27 + 9 + 6 + 2 = 44_{10}\] 2) Найдем \(x\): \[22 + x = 44 \Rightarrow x = 22_{10}\] 3) Переведем 22 в четверичную систему: \[22 / 4 = 5 \text{ (остаток 2)}\] \[5 / 4 = 1 \text{ (остаток 1)}\] \[1 / 4 = 0 \text{ (остаток 1)}\] Записываем остатки снизу вверх: \(112_4\). Ответ: 112.