Решение задачи на экстремум функции z = x^2 + xy + y^2 - 2x - y

Задание: Исследовать функцию на экстремум. Дано: \[ z = x^2 + xy + y^2 - 2x - y \] Решение: 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y - 2 \] \[ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y - 1 \] 2. Найдем критические точки, решив систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y - 2 = 0 \\ x + 2y - 1 = 0 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \( x \): \[ x = 1 - 2y \] Подставим в первое уравнение: \[ 2(1 - 2y) + y - 2 = 0 \] \[ 2 - 4y + y - 2 = 0 \] \[ -3y = 0 \implies y = 0 \] Тогда \( x = 1 - 2 \cdot 0 = 1 \). Получена критическая точка \( M_0(1; 0) \). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 \] \[ B = z''_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 \] \[ C = z''_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \] 4. Проверим достаточное условие экстремума с помощью определителя \( \Delta \): \[ \Delta = AC - B^2 \] \[ \Delta = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] Так как \( \Delta > 0 \), то в точке \( M_0 \) функция имеет экстремум. Так как \( A = 2 > 0 \), то точка \( M_0(1; 0) \) является точкой минимума. 5. Вычислим значение функции в точке минимума: \[ z_{min} = z(1; 0) = 1^2 + 1 \cdot 0 + 0^2 - 2 \cdot 1 - 0 = 1 - 2 = -1 \] Ответ: Функция имеет минимум в точке \( (1; 0) \), \( z_{min} = -1 \).