Решение контрольной работы №3. Квадратные уравнения. Вариант 1

Контрольная работа № 3 Тема: Квадратные уравнения Вариант 1 I часть 1. Решите уравнение: \(x^2 + 7x = 0\). Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x + 7) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x_1 = 0\) или \(x + 7 = 0\) \(x_2 = -7\) Ответ: \(0; -7\). 2. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 4 и 9. Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\): \(p = -(x_1 + x_2) = -(4 + 9) = -13\) \(q = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 9 = 36\) Уравнение имеет вид: \(x^2 - 13x + 36 = 0\). Ответ: \(x^2 - 13x + 36 = 0\). 3. Решите уравнение: \(3x^2 - 18 = 0\). Перенесем свободный член в правую часть: \(3x^2 = 18\) Разделим обе части на 3: \(x^2 = 6\) \(x = \pm \sqrt{6}\) Ответ: \(\pm \sqrt{6}\). 4. Решите уравнение: \(x^2 + 5x - 14 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\) \(\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9\) Находим корни: \(x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) Ответ: \(2; -7\). 5. При каком значении \(a\) уравнение \(10x^2 + 4x + a = 0\) имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю: \(D = 4^2 - 4 \cdot 10 \cdot a = 16 - 40a\) Условие \(D = 0\): \(16 - 40a = 0\) \(40a = 16\) \(a = \frac{16}{40} = 0,4\) Ответ: \(0,4\). II часть 6. Решите уравнение: \((6x - 5)^2 + (3x - 2)(3x + 2) = 36\). Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: \(36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36\) Приведем подобные слагаемые: \(45x^2 - 60x + 21 = 36\) \(45x^2 - 60x - 15 = 0\) Разделим всё уравнение на 15: \(3x^2 - 4x - 1 = 0\) \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28\) \(\sqrt{D} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) \(x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\) Ответ: \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\). 7. Число 4 является корнем уравнения \(3x^2 + bx + 4 = 0\). Найдите значение \(b\) и второй корень. Подставим \(x = 4\) в уравнение: \(3 \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 4 = 0\) \(3 \cdot 16 + 4b + 4 = 0\) \(48 + 4b + 4 = 0\) \(4b = -52\) \(b = -13\) По теореме Виета для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) \(4 \cdot x_2 = \frac{4}{3}\) \(x_2 = \frac{1}{3}\) Ответ: \(b = -13\); \(x_2 = \frac{1}{3}\). III часть 8. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 14 см больше другого катета и на 2 см меньше гипотенузы. Пусть первый катет равен \(x\) см. Тогда второй катет равен \((x + 14)\) см. Гипотенуза на 2 см больше второго катета, то есть \((x + 14) + 2 = (x + 16)\) см. По теореме Пифагора: \(x^2 + (x + 14)^2 = (x + 16)^2\) \(x^2 + x^2 + 28x + 196 = x^2 + 32x + 256\) \(x^2 - 4x - 60 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 10\), \(x_2 = -6\) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Стороны треугольника: Первый катет: \(10\) см. Второй катет: \(10 + 14 = 24\) см. Гипотенуза: \(10 + 16 = 26\) см. Ответ: \(10\) см, \(24\) см, \(26\) см.