Решение неравенств и систем уравнений

1. Решите неравенство: 1) \(x^2 + 3x - 4 > 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 1\). Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)\). 2) \(4x^2 - 8x \le 0\) Разложим на множители: \(4x(x - 2) \le 0\). Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\). Ответ: \(x \in [0; 2]\). 3) \(x^2 > 4\) \(x^2 - 4 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) > 0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\). 4) \(x^2 - 10x + 25 \le 0\) Заметим формулу квадрата разности: \((x - 5)^2 \le 0\). Квадрат любого числа не может быть меньше нуля, он может быть только равен нулю. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). Ответ: \(5\). 2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} y + 2x = 5 \\ 2x - xy = -1 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 5 - 2x\). Подставим во второе: \(2x - x(5 - 2x) = -1\) \(2x - 5x + 2x^2 + 1 = 0\) \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\) \(x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \Rightarrow y_1 = 5 - 2 \cdot 1 = 3\) \(x_2 = \frac{3 - 1}{4} = 0,5 \Rightarrow y_2 = 5 - 2 \cdot 0,5 = 4\) Ответ: \((1; 3), (0,5; 4)\). 3. Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt{4x - x^2}\) Под коренное выражение должно быть неотрицательным: \(4x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x(4 - x) \ge 0\). Корни: \(0\) и \(4\). Парабола ветвями вниз. Ответ: \(D(y) = [0; 4]\). 2) \(y = \frac{5}{\sqrt{5 - 14x - 3x^2}}\) Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: \(5 - 14x - 3x^2 > 0\) \(3x^2 + 14x - 5 < 0\) Находим корни \(3x^2 + 14x - 5 = 0\): \(D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2\) \(x_1 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{-14 - 16}{6} = -5\) Ответ: \(D(y) = (-5; \frac{1}{3})\). 4. Решите графически систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 + 4x \\ y = x + 4 \end{cases} \] Построим параболу \(y = x^2 + 4x\). Вершина: \(x_0 = \frac{-4}{2} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4(-2) = -4\). Точки: \((-4; 0), (-3; -3), (-2; -4), (-1; -3), (0; 0)\). Построим прямую \(y = x + 4\). Точки: \((0; 4), (-4; 0)\). Точки пересечения графиков: \((-4; 0)\) и \((1; 5)\). Ответ: \((-4; 0), (1; 5)\). 5. Задача: Пусть \(v_1\) — скорость первого пешехода, \(v_2\) — скорость второго. Расстояние \(S = 12\) км. Время первого: \(t_1 = \frac{12}{v_1}\), время второго: \(t_2 = \frac{12}{v_2}\). По условию: \(t_2 - t_1 = 1\) и \(2v_2 - 1v_1 = 2\). Система: \[ \begin{cases} \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \\ v_1 = 2v_2 - 2 \end{cases} \] Подставим \(v_1\) в первое уравнение: \(\frac{12}{v_2} - \frac{12}{2v_2 - 2} = 1\) \(\frac{12}{v_2} - \frac{6}{v_2 - 1} = 1\) \(12(v_2 - 1) - 6v_2 = v_2(v_2 - 1)\) \(12v_2 - 12 - 6v_2 = v_2^2 - v_2\) \(v_2^2 - 7v_2 + 12 = 0\) По теореме Виета: \(v_{2}' = 3\), \(v_{2}'' = 4\). Если \(v_2 = 3\), то \(v_1 = 2 \cdot 3 - 2 = 4\). Если \(v_2 = 4\), то \(v_1 = 2 \cdot 4 - 2 = 6\). Оба варианта подходят под условия задачи. Ответ: 4 км/ч и 3 км/ч или 6 км/ч и 4 км/ч. 6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 9 \\ x + 2y = 9 \end{cases} \] Заметим, что первое уравнение — это полный квадрат: \((3x - 2y)^2 = 9\). Это распадается на две системы: А) \(3x - 2y = 3\) и Б) \(3x - 2y = -3\). Сложим каждое с \(x + 2y = 9\): А) \((3x - 2y) + (x + 2y) = 3 + 9 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\). Тогда \(3 + 2y = 9 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Б) \((3x - 2y) + (x + 2y) = -3 + 9 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1,5\). Тогда \(1,5 + 2y = 9 \Rightarrow 2y = 7,5 \Rightarrow y = 3,75\). Ответ: \((3; 3), (1,5; 3,75)\).